CCF20110602003

Ten/ostatni przypadek ,nas najbardziej interesuje, bo możemy go zapisać w dogodniejszej postaci korzystając ze wzoru

na sumę // początkowych wyrazów ciągu geometry

«, 0 -7")

rvcznego : .S’.. = —-— . W

1-7

Wtedy tę zależność opisujemy wzorem:

A = A,

(s	('-«•)!
	1 — V z^1

W powyższych zależnościach wprowadzono następujące oznaczenia:

A_(I    - kwota po n latach (ta. którą chcemy zgromadzić);

K_l,X₂,K_s,...,K_ll - kwoty, które wpłacamy w poszczególnych okresach czasowych;

s

A

czy nnik oprocentowujący .« = 1 +

A 100

, gdzie p to roczna stopa procentowa.

- to liczba kapitalizacji w ciągu roku: s_l,s₂,s_},...,s_n - czynniki oprocentowujące w okresach poprzedzających drugą, trzecią, ogólnie n-tą wpłatę. PRZYKŁAD I    \ 'Sb® ^

Natalia chce po studiach kupić sobie samochód za około 40000 zl. lle\co miesiąc z góry musi wpłacać przez 5 lat. by zgromadzić potrzebny kapitał, przy założeniu równych kw ot w płat oraz staleJTćcznej stopy procentowej na poziomie 8% .

Rozwiązanie

Z treści zadania wynika, że wartość przyszła A, - 40000 zl. Musi by ć ona równa sumie urealnionym comiesięcznym wpłatom, czyli:

K_f = A, -.v⁶" + Aj •s⁵* + Aj • v^s +...+ A, • ,v" + Aj = Aj (s¹ + s^; + v’ +...+ v'^s + s^f9 + ***). zastępując wyrażenie

1-s

w nawiasie wzorem na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy: Aj = Aj

« 5,0067 . Po przekształceniu wzoru uzy skujemy Aj = 540,78 zł .

gdzie : s = 1

12100

Odp. Chcąc spełnić swoje marzenie Natalia musi co miesiąc wpłacać 540.78 zl.

PRZYKŁAD 2    Vl -    • XIS'⁰

Błażej ma 20 lat. Chce przez 45 lat co miesiąc wpłacać z dołu kwotę 100 zl. Zakładając, że roczna stopa procentowa przez cały czas oszczędzania będzie stała w wysokości 8% oblicz jaką kwotę będzie miał Błażej na koncie w wieku 65 lat?

Rozwiązanie

Aj, = 100

Mamy obliczyć wartość przyszłą Aj,. Musi być ona równa sumie urealnionym comiesięcznym wpłatom, czyli: Aj, = Aj + Aj s⁵¹⁸ + Aj -.v^5J7 +...+ Aj -.v² + Aj s' + Aj -.v° = Aj (s" + s' + s² +... +s*^y + s™ + s™) . zastępując wyrażenie w nawiasie wzorem na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy: l(l-v^M")    8

-gdzie : v = 1 +-« 1,0067 . Po obliczeniach uzyskujemy Aj. = 527453,99 zł.

1-s    -    12-100    '    ⁴

Odp. Błażej zgromadzi na swoim koncie 527.453.99 zł.

UWAGA

W powyższym przykładzie duża liczba okresów kapitalizacyjnych sprawia pewne kłopoty obliczeniowe dla osób . które nie potrafią obsługiw ać arkuszy kalkulacyjny ch w takich programach jak Lotus czy Excel. Dlatego też sporządzono tablice wskaźników wartości przyszłej, a także zaprojektowano specjalne kalkulatory finansowe, które takiego typu obliczenia czynią prostymi, szybkimi i dokładnymi.

13.    Umarzanie kredytu. Często w ży ciu człow ieka pojawia się problem realizacji zamierzeń, przy ograniczonych możliwościach. Dotyczy to różnego rodzaju inwestycji, począwszy od drobnych, jak zakup lodówki, telewizora, a skończywszy na dużych jak budowa zakładu przemysłowego, osiedla mieszkaniowego itp. Podstawową filozofią naszych działań powinien być rozwój w oparciu o własny kapitał. Niestety nie zawsze, a raczej zazwyczaj, nie jesteśmy w stanie zgromadzić w określonym czasie żądanej kwoty . W takich sytuacjach musimy pożyczyć pieniądze np. od rodziców, znajomych czy z banku. Branie kredytu z banku jest najbardziej rozpowszechnionym sposobem uzyskania wymaganego zastrzyku gotówki. W ostatnich latach daje się zauważyć wzrost popytu na tzw. kredyty konsumpcyjne związane z zakupem samochodów, mieszkań, czy domów.

14.    Definicja kredytu. Kredyt jest to pożyczka czyli odstąpienie przez w ierzyciela dłużnikowi określonej wartości w pieniądzu lub w towarach na warunkach zwrotu równowartości w określonym terminie

15.    Matematyczny opis kredytu. Niech Aj, będzie wartością kredytu zaciągniętego przez dłużnika. Z punktu widzenia banku jest to kwota bieżąca dochodów przyszłych, którymi będą raty spłacane przez pożyczkobiorcę. Tę kwotę

w zależności od sposobu spłaty kredytu możemy zapisać w różnych postaciach: