KIF86

kiem definicyjnym, zyskujemy możliwość dowodzenia twierdzeń zawierających terminy, których nie ma w aksjomatach. Przyjąwszy więc w systemie aksjomatycznym rachunku zdań opartym na aksjomatach AI-A3 (zob. zadanie 28) definicje:

(Dl) (r, v WJm(~ lVt) •

02) (^a    W_t)

(D3) {W_xm    W',)] wraz z regułą RZ. możemy dowodzić w tym systemie twierdzeń, które zawierają funktory v, a, a. Na przykład, dołączając do dowodu prawa tożsamości (zob. zadanie 28) kolejno wyrażenia:

(8)    i)    (RP: 7)

(9)    (~/>-*?)-»(/>v$)    >’£• ■    ■ '*f,-⁸>

(10) (~/>-~/>)-<pv~p)    ‘    (RP: 9)

(11) ~p-+~p    (RP: 7)

(12) pv~*_    (RO: 10, II) otrzymujemy dowód prawa wyłączonego środka.

Udowodnij jako twierdzenia systemu o aksjomatach A1-A3, definicjach D1-D3 i regułach RP, RO, RZ następujące tautologie:

(a)    (pvpV+p

(b) p-*(pvę)

(c)    (paę)-((p-»?)A(?-»p)]

(d)    Kp-*fl)A(^-»p)]-0»*9)

30*. System aksjomatyczny rachunku zdań można oprzeć na widu innych układach aksjomatów, na przykład, na aksjo- [ matycc: (A*l) p-(g-*p)

(A'2) lp-H9-*r)HKP-9)-(j)-*r)]

(A'3)

(A'4) (~p-p)-*p

Udowodnij prawo tożsamości jako twierdzenie systemu O aksjomatach A'l-A'4 i regułach RP. RO.

31*. Terminami pierwotnymi systemu aksjomatycznego rachunku zdań mogą być dowolne funktory, za pomocą których dają się zdefiniować pozostałe. Przykładem aksjomatyki altcr-natywno-negacyjncj jest układ:

(A") ~0>v/>)v/7 (A"2) ~pv[pvq)

(A"3) ~(pvq)v(qvp)

(A"4) -(-łvr)vl~(^vę)v(pvr)l

(A)    Zaproponuj definicje funktorów a, - dla systemu

0    aksjomatach A"l-A”4.

(B)    Korzystając z odpowiednich definicji udowodnij jako twierdzenia systemu o aksjomatach A"l-A"4 i regułach RP. RO, RZ:

(a) P-(/>Y<?)    (b) ~(pAq)-(~pv~q)

32*. Przyjmując aksjomaty zawierające wszystkie interesujące nas terminy stałe upraszczamy system, unikając definicji

1    reguły zastępowania; aksjomatów wprawdzie musi być wówczas odpowiednio więcej, dowody jednak stają się krótsze i przejrzystsze. Przykładem takiej aksjomatyki jest układ:

(A'"l) (/>-*?)-*[fa-r)-(p-»r)1 (A'"2) [p-*(p-*q)]-{p~q)

(A"'3) p-(q^p)

(A'"4) (pa q)-*p _t (A'"5) (p*q)->q *

(A'"6)    ar)l}

(A'"7) p-ipvq)