KIF31

176.    Relacją spójną w danym zbiorze nazywamy relację, która zachodzi między dowolnymi dwoma różnymi ckmcnta-mi A'. v tego zbioru — bądź między x i y, bądź między i x:

R jest spójna w

- A^x A>l^{x e A} *y t A ax*)— <x,y>e/?v

v O. *>€*]•

Na przykład, relacja ^ (a także relacja <) jest spójna w zbiorze liczb rzeczywistych; relacja starszeństwa jest spójna w takim podzbiorze zbioru ludzi, do którego nic należą dwaj ludzie równi wiekiem.

Czy któraś z relacji podanych w zadaniu 169 jest spójni w zbiorze, który jest jej polem? Scharakteryzuj zbiór, w którym spójna jest:

(a)    relacja pokrewieństwa,

(b)    relacja równobarwności,

(c)    relacja nierównobarwności.

177.    Scharakteryzuj pod względem własności formalny*, zdefiniowanych w zadaniach 170-176, każdą z podanych niżej relacji (w zbiorze wszystkich ludzi).

(a)    Relacja bycia znajomym.

(b)    Relacja bycia kochanym.

(c)    Relacja posiadania wspólnych krewnych.

(d)    Relacja bycia przeciwnej płci.

(e)    Relacja wyznawania tej samej religii.

(f)    Relacja różnienia się pod pewnym względem.

(g)    Relacja jednomyślności w pewnych kwestiach.

(h)    Relacja bycia o rok starszym.

(i)    Relacja bycia nic-bratcm.

(j)    Relacja bycia starszym lub młodszym.

(k)    Relacja bycia starszym bratem.

178.    Niech A będzie zbiorem czteroelcmcntowym:

A = {a_lt a_t, o,. 04)-

Jakie własności formalne posiada w zbiorze A relacja:

(*) Ri={<^av °t>-    "*>• <%• «i>. <o«. o»)J-

(b) A.-={<o„ a*>,    a_a>. <a„ o₃>. <ą. a«>. <"4. «»4>}

(c)    **={<*1. a*>. <o₈. «%>, <a», o«>, <«„ a«>. <«,. «*>,

179.    Podaj przykład relacji, która w zbiorze trójclemento-wym:

{«i. a_t, a,)

jest:

(a)    zwrotna, symetryczna i przechodnia.

(b)    zwrotna, symetryczna, lecz nieprzcchodnia,

(c)    asymetryczna, przechodnia i spójna,

(d)    asymetryczna, przechodnia, lecz niespójna,

(e)    symetryczna i zarazem anty symetryczna.

(0 asymetryczna i zarazem antysymctryczna,

(g) antysymetryczna. lecz nic asymetryczna.

180.    Jakie stosunki zachodzą między zbiorami D{R) i D(R) gdy R jest w danym zbiorze relacją:

(a)    symetryczną.

(b)    asymetryczną.

(c)    antysymetryczną, lecz nic asymetryczną i nic symetryczną,

(d)    ani symetryczną, ani asymetryczną, ani antysymetryczną.

181.    Relacją pustą nazywamy relację, klóra nie zachodzi między żadnymi dwoma przedmiotami; jest to po prostu zbiór pusty 0.

Relacja niepusta określona w danym zbiorze może stać się pusta po ograniczeniu jej do pewnego podzbioru tego zbioru. Na przykład, relacja bycia o rok starszym jest pusta w zbiorze: {Aleksander Wielki, Hannibal, Cezar}.

Zbadaj własności formalne relacji pustej w danym zbiorze.

182.    Relacją pełną w danym zbiorze nazywamy relację, która zachodzi między każdymi dwoma elementami x, y

117