KIF38

219. Iloczynem relatywnym (złożeniem) relacji R i S (symbolicznie: R»S) jest relacja, która zachodzi między przedmioia-mi x i y zawsze i tylko, gdy x pozostaje w relacji R do pewnego przedmiotu pozostającego w relacji 5 do y:

ix, yje R 9 Ss\/ z«.t, zje Ra. <z, yj e S].

Na przykład, iloczynem relatywnym relacji bycia żoną i rclaę.i bycia synem jest relacja bycia synową.

Nazwij w języku potocznym iloczyn relatywny:

(a)    relacji bycia żoną i relacji bycia bratem,

(b) relacji bycia matką i relacji bycia mężem,

(c) relacji bycia ojcem i relacji bycia rodzicem,

(d)    relacji bycia siostrą i relacji bycia matką,

(c) relacji bycia przodkiem i relacji bycia przodkiem.

220. Niech R będzie relacją bycia kwadratem, 5 zai relacją mniejszości. Które z podanych niżej par liczb należą do R o 5? Które z nich są elementami S» R1

(a)<l,3> <b) <1,1> (c)<2.3>

(d)    <4,5>

(e)    <4,2> (O <9,4>

221. Niech a_lt a,, a₃, a_x będą przedmiotami dowolnego ro

dzaju. Niech przy tym:

Ą>. <fij.fi*>> <«*.«*>.

S={<fli,fli>, <fij» fla). <fi«.fii>}-

Wskaż relację R*S i relację S° R.

222. Udowodnij w oparciu o definicje konwersu i iloczyn relatywnego następujące równości:

(a)    (*.S)or=K*(S°7')

(b)    /US-Sotf.

223.    Niech A będzie dowolnym zbiorem dwu- lub więocj-•ekmentowym. Odpowiedz na następujące pytania:

(a)    Czy suma każdych dwu relacji równościowych w A jest relacją równościową w Al

(b)    Czy iloczyn każdych dwu relacji równościowych w A jest relacją równościową w A?

(c)    Czy różnica każdych dwu relacji równościowych w A jest relacją równościową w /<?

(d)    Czy dopełnienie każdej Tclacji równościowej w A jest relacją równościową w Al

(e)    Czy konwers każdej relacji równościowej w A jest relacją równościową w A"!

(O Czy iloczyn relatywny każdych dwu relacji równościowych w A jest relacją równościową w A?

224.    Odpowiedz na pytania analogiczne, jak w zadaniu 223, biorąc pod uwagę zamiast relacji równościowych kolejno:

(a)    relacje porządkujące,

(b)    relacje częściowo porządkujące.

(c)    relacje jednoznaczne,

(d)    relacje odwrotnie jednoznaczne,

(c) relacje wzajemnie jednoznaczne.

225.    Dowiedź w oparciu o odpowiednie definicje następujących zależności:

(a)    Jeśli R jest relacją jednoznaczną, to R jest relacją odwrotnie jednoznaczną.

(b)    Jeśli R jest relacją odwrotnie jednoznaczną, to R jest relacją jednoznaczną.

(c)    Jeśli R jest relacją wzajemnie jednoznaczną oraz a e D(K), to R(R(aj)=a.

226.    Określ za pomocą równań relacje, które są k on wersami relacji wzajemnie jednoznacznych, określonych w zbiorze liczb

*• 131