kolokwium nr1 09 10

Kolokwium nr 1 z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2009/2010

Zad.l. [ 6p-ł-3p - rozwiązanie piszemy na stronie 1 )

a)    Zbadać, czy pole wektorowe F = [-2z²e~^2x + 2cosi/, -2xsin?/ -3z³,2ze~^2j — 9t/z²] spełnia warunek wystarczający istnienia potencjału i wyznaczyć ten potencjał.

b)    Sformułować twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej od drogi oraz obliczyć:

J (—2z²e ^2x + 2cosy) dx + (—2xsiny - 3z^ó) dy + (2ze. ^2u - 9yz²) dz

AU jeżeli >4(0,4,0) i J3(0,0,2).

Zad.2.    [ 5p - rozwiązanie piszemy na stronic 2 ]

Obliczyć masę łuku, będącego częścią okręgu x² f y² = 4 leżącą w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, jeżeli gęstość masy ę(x,y, z) = x²y².

Zad.3.    | 4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3 )

Obliczyć .[(z³ ~ 2/)dx ■+■ xydy , jeżeli L jest lukiem

L

L y² — 4x, skierowanym od punktu >4(1,2) do punktu £(0,0).

Zad.4.    |5p - rozwiązanie piszemy na stronie 4 |

Dla krzywej o równaniu:

L : f[t) = [ i + 3 sin t, 2 cos t, 3£ — sin t ]

wyznaczyć równanie prostej binormalnej i płaszczyzny normalnej w punkcie

P(0,2,0).

Zad.5.    | 4p+3p - rozwiązanie piszemy na stronic 5 ]

a)    Obliczyć krzywiznę i skręcenie krzywej L : { 2y = x², 3z = x³ } w punkcie ^(0,0,0)

b)    Co znaczy, że punkt Mq (OM — r(ćo)) jest punktem spłaszczenia krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma punkty spłaszczenia⁷