Macierze i wyznaczniki7

76

Macierze i wyznaczniki

Własności wyznaczników

• Przykład 3.11

Nie obliczając wyznaczników znaleźć rozwiązania podanych równań:

1 + X	1	1	1		‘2 X	4	9	3
2	2	2	2	= 0; b)	-1	1 — a;^2	-9	-3
4	6 - x	4	4		1	4	9	3
6	6	6	X		1	4	X^2	3

Rozwiązanie

a)    Łatwo zauważyć, że wyznacznik po lewej stronie równania zeruje się dla x = 0 (pierwsza i trzecia kolumna są takie same); x = 2 (druga i trzecia kolumna są takie same); x = 6 (trzecia i czwarta kolumna są takie same). Ponadto z rozwinięcia Laplace’a wynika, że lewa strona równania jest wielomianem stopnia trzeciego. Ponieważ wielomian tego stopnia ma nie więcej niż trzy pierwiastki, więc 0, 2 i 6 są jedynymi pierwiastkami naszego równania.

b)    Jak powyżej łatwo zauważyć, że wyznacznik po lewej stronie równania zeruje się dla x — —1, x = 1 (pierwsza i czwarta kolumna są proporcjonalne); x = —V5, x = \/5 (druga i czwarta kolumna są proporcjonalne); x = — 3, x = 3 (trzecia i czwarta kolumna są proporcjonalne). Ponadto z rozwinięcia Laplace’a wynika, że lewa strona równania jest wielomianem stopnia szóstego. Jak wiadomo wielomian szóstego stopnia ma co najwyżej sześć pierwiastków, więc wskazane powyżej liczby są jedynymi pierwiastkami naszego równania.

• Przykład 3.12

Obliczyć podane wyznaczniki wykorzystując występujące w nich regularności:

					-5	2	3	4	5
1	2	3	4		1	-4	3	4	5
5	6	7	8	; b)	1	2	-3	4	5
9	10	11	12		1	9	O	o
13	14	15	16		1 1	Z 2	O 3	— z 4	0 -1

Rozwiązanie

a) Odejmując pierwszy wiersz od drugiego oraz trzeci od czwartego otrzymamy wyznacznik, w którym drugi i czwarty wiersz są takie same. Zatem

b) Wykonując wskazane operacje elementarne na wierszach i kolumnach otrzymamy

-5	2	3	4	5
1	-4	3	4	5
1	2	-3	4	5
1	2	3	-2	5
1	2	3	4	-1

*•‘1	J-
	—
«'^f3	- W’5
■V-'4	— a-5

1	2	3	4		J	2	3	4
5	6	7	8	zi‘2 — u>i	4	4	4	4
9	10	11	12	— u^-3	9	10	11	12
13	14	15	16		4	4	4	4

-6 0 0 0 6 0-6006 0 0 —6 0 6 000-66 1    234-1

-6	0	0	0	0
0	-6	0	0	0
0	0	-6	0	0
0	0	0	-6	0
1	2	3	4	9

= 9 • (-6)⁴ = 11664.

a) Dodając pierwszy wiersz kolejno do drugiego, trzeciego, ... i ostatniego wiersza otrzymamy macierz trójkątną górną. Wykorzystując następnie fakt, że wyznacznik takiej macierzy jest równy iloczynowi elementów stojących na głównej przekątnej otrzymamy

1	2	3 .	. n				1	2	3 .	n
-1	0	3 .	n		xt'2 4-		0	2	6 .	. 2 n
-1	-2	0 .	n		^'3. -ł'.vui.i • .	=	0	0	3 .	2n
					an + U<1
-1	-2	-3 .	. 0				0	0	0 .	n

b) Najpierw do pierwszego wiersza dodajemy wszystkie pozostałe. Potem z pierwszego wiersza wyłączamy wspólny czynnik. Następnie pierwszy wiersz pomnożony przez 5 odejmujemy kolejno od wiersza drugiego, trzeciego, ..., i ostatniego. W wyniku tych operacji otrzymamy macierz trójkątną górną, której wyznacznik jest równy iloczynowi elementów stojących na głównej przekątnej. Zatem

i	5	5	... 5		111.	. 1
5	1	5	... 5		5 15.	. 5
5	5	1	... 5	“U + <«2 + a-3 + . . . + w„) _ .	5 5 1.	. 5
5	5	5	... i		5 5 5.	. i

	1	1	1 ...	1
	0	-4	0 ...	0
(5n — 4) •	O • •	o . .	-4 ...	0
	• o	O •	0 ...	-4

= (Sn-ąj-C-ą)""¹.

przykłady

77

• przykład 3.13

Obliczyć podane wyznaczniki stopnia n > 2 wykorzystując występujące w nich regularności:

	1	2	3 .	. n		i	5	5	... 5
	-1	0	3 .	. n		5	1	5	... 5
a)	-1	-2	0 .	. n	; b)	5	5	1	... 5
	-1	-2	-3 .	. 0		5	5	5	... 1

Rozwiązanie