metody12

11?

11?

x - X

6(r)

znany, co może komplikoriać praktyczne zastosowania tego rozkładu. Ominięcie tej komplikacji możliwe jest dzięki tzw. rozkładoyd. Studenta, który w miejsce odchylenia standardowego z całej populacji u-względnia odchylenie standardowe z próby - 6(x). * Jeżeli więc w miejsce niewiadomego s(x) Uwzględniały 6(x), wówczas dokładnym rozkładem średnich z wielu prób niezależnych jest tzw; rozkład t-Stu-denta, mający n - 1 stopni swobody. Rozkład t-Studenta jest właściwy dla małych prób o n^ JO, im bo Widm mniejsza liczebność próby, tym bardziej rozkład średniej- z próby odbiega" od znanego nam rozkładu normalnego (graficzny obraz funkcji rózkładU ż małych prób jest nieco bardziej wysmukły od rozkładu normalnego i na ogół cechuje się pewną skośnością). Gdy n >30, rozkład t-Studenta coraz bardziej upodabnia się do rozkładu normalnego. Ogólnie - "statystyką t nazywamy odchylenie statystyki uzyskanej na podstawie próby od wartości parametru populacji, wyrażone w jednostkach odchylenia standar-dowego rozkładu z prób" . Inaczej więc można powiedzieć, że jeśli jakaś cecha X ma w zbiorowości generalnej rozkład normalny wyznaczony (nieznanymi) parametrami X, s(x), to zmienna losowa

t =

rozkład t-Studenta wyznaczony liczbą stopni swobody = n - 1, Za-Pis ten pozwala na szacowanie nie znanej średniej (x) w populacji, dek widaó, rozkład t-Studenta wyznaczony jest tylko jednym parametrem, a mianowicie liczbą stopni sY/obody n - 1.

w niektórych podręcznikach znaleźć można nieco zinodyfiko7»any ^>vf^{or na} obliczanie odchylenia standardowego próby, v/ którymi w mianow-^r-iku zamiast n (lub N) występuje n - 1 (lub N - i), oo zda-iiiem części statystyków odnosi się do małej próby (n^30). Kie Y/pro-^adzamy jednak tej modyfikacji, by nie komplikować wykładu oraz dla-^ue£o, źe w istocie jest to niewielka zmiana, nie wnosząca zasadni-^czych różnic,    ’    !

'K. Krzyś ztofiak, A. Luszniewic z:    Statysty-

*«■•... s. 133.

6.1.3. Asymptomafyczne rozkłady z próby

Czasami w praktyce badawczej rozkład pewnej zmiennej X w zbiorowości generalnej jest bądź nieznany, bądź też nie jest rozkładem normalnym, W takich sytuacjach musimy skorzystać z twierdzeń o rozkładach asymptomatycznych. Jedno z nich mówi, że dla niezależnych prób n-elementowych, pobranych ze zbiorowości generalnej o dowolnym rozkładzie wyznaczonym parametrami X, S(x), rozkład średnich z tych prób przy n—«-oo ma rozkład normalny, określony parametrami

7 ⁿ

Szczególny przypadek tego twierdzenia stanowi twierdzenie o rozkładzie średniej z prób pobieranych ze zbiorowości niezbyt silnie a-symetrycznych. Otóż jeżeli ów niezbyt silnie asymetryczny rozkład ma parametry X, s(x), to zmienna losowa Z = ^    «-/n" ma rozkład

normalny - Z: N(0; 1) wówozas, gdy n jest dostatecznie duże (najmniej 100). Przy braku informacji o s(x) można użyć 6(x).

Wspomnijmy na koniec o jeszcze jednym twierdzeniu dotyczącym asym-ptomatycznych rozkładów z próby, twierdzeniu; odnoszącym się do struktury badanej zbiorowości. Otóż jeśli ze zbiorowości wylosujemy n-elementowe próby, w których m elementów posiada wyróżnioną cechą A, to wtedy, gdy prawdopodobieństwo wylosowania z populacji generalnej elementu z tą cechą A wynosi p(o<p<0 - przy warunku n—►eo, wskaźnik struktury ~ próby ma rozkład normalny wyznaczony parametrami p;

6.2. Estymacja parametrów

Estymacja statystyczna, której metodami zajmuje sią teoria esty-macji, stanowi rodzaj wnioskowania polegający na szacowaniu parametrów populacji generalnej na podstawie statystyk obliczanych dla wylosowanej z tej populacji próby. Wyróżniamy dwa rodzaje estymacji?

-    estymację punktową._

—    estymacją przedziałową.