P5194058

166

167

lii

Przyjmujemy, że R_u - Y

^x R!

■> JSrachunek macierzowy możemy rozwiązać następujące problemy: K Jenie udziałów portfela charakteryzującego się minimalnym ryzykiem:

Łzie:

(6.17)

oraz %

Powyższe wyrażenia wstawiamy do wzoru (6.14). Otrzymujemy zatem funty wielu zmiennych, którymi są udziały (o, (jest ich tyle, ile spółek branych pod nty przy konstrukcji portfela). Następnym krokiem jest wyznaczenie pochodnych, ket no względem poszczególnych udziałów. Każdą pochodną przyrównujemy do aq, w rezultacie czego otrzymujemy układ n równań z n niewiadomymi. Jego rozwiąż (tzn. optymalne udziały spółek) wprowadzamy do wzoru (6.14).

W szczególnym przypadku, którym jest brak krótkiej sprzedaży (udziały spóy nie mogą być ujemne), pojawia się problem polegający na możliwości uzyska® w wyniku maksymalizagi współczynnika kierunkowego, rezultatu niemieszcząaą się w dziedzinie. Można wówczas przyjąć jaką daną minimalną, mieszczącą ą w dziedzinie wartość udziału spółki, której pierwotny udział (bez warunku ogranica-i jącego w postaci braku krótkiej sprzedaży) był ujemny, czyli 0. Aby jednak mieępw-1 ność, że właśnie dla tej wartości funkcji osiągnie maksimum w swojej dziedzinie b nieczne jest spełnienie warunków, zwanych warunkami Kuhna-Tuckera¹²:

Lektor (n + l)-elementowy, w którym n pierwszych elementów to poszukiwane udziały spółek w portfelu, zaś ostatni element (X) to mnożnik Lagran-ge’a, nie mający w niniejszym zadaniu znaczenia,

macierz o wymiarach (w + 1) x (/i + 1), której elementy określone są w następujący sposób:

%= 1s} dla i = 1,2,..., n,

Ogdla i — 1,2,..., n,j =1,2,..., w, j, rf,n+1 ~^crt+ \,i~ 1 tila 1= 1,2, ..., FI, ^cn+i,n +1 =0dla i = 1,2,..., «,

■■wektor (n + 1) elementowy, pierwsze n elementów wynoszą 0, ostatni zaś 1. ■Znalezienie udziałów portfela charakteryzującego się minimalnym ryzykiem przy uchowaniu minimalnej zadanej stopy zwrotu:

(6.18)

gdzie:

w,*U, -0 a,* 0 U,*0

Q(n_t)+U_tm 0

W

gdzie: 0'(c»ł() - pierwsza pochodna funkcji O opisanej wzorem (6.14) względem ą O'((0_f) wynosi:

gdzie:

X m

ai

(6.1 $

D -

wektor (n + 2)-elementowy, w którym n pierwszych elementów to poszukiwane udziały spółek w portfelu, zaś ostatnie dwa elementy (p oraz X) to imnozniki Lagrange*a, nie mające w niniejszym zadaniu znaczenia, macierz o wymiarach (n + 2) x (n + 2), której elementy określone są w następujący sposób:

dla i = 1,2,..., n,

^=x sj X Qf,y dla i — 1,2,    1,2, i>j,

^/,n+\ = cf_n+\_iI=l dla i—1,2,

n + 2, i"

\,n + \

= d

R.dlai

n+ \,n + 2^:

..., n, 1,2,

2 = 0 dla i = 1,2,

1 '0 - wektor (n + 2) elementowy, pierwsze n elementów wynoszą O, przedostatni 1, zaś ostatni równy jest zadanej stopie zwrotu z portfela.

I Konstrukcję portfela papierów wartościowych, zgodną z koncepcją Markowitza ■brązuje przykład 6.1.

U, - nieujemna liczba równa co do wartości bezwzględnej.

Przykład 6.1

Spośród wszystkich akcji notowanych na GPW w Warszawie wybieramy pięć, których ceny w PLN na koniec poucztgóK.^ 4**^ Wl ««»»»*«

Błon Ł. Gruber M.: Teoria nowoczesnego Inwestowaćj|

*. Warszawa 1998 .M4J-J45.