Skan0

Einfuhrung einer nenen Yeranderlichen

Die Ableitungsregel einer Verkettung fuhrt durch Umkehrung zu einer Integrationsformel, die in vielen Fallen gute Dienste leistet.

Es sei f(x)=flg(x)]

Eine differenzialbare Verkettung. Die Kettenregel liefert

F'(x) = w'[v(x)]* v'(x) <=> ^u'[v(x)\v'(x)dx = F(x) + C = U[v(x)] + C (1)

Der Einfachheit halber lassen wir die Konstantę C ausser Acht.

Es ist unser Ziel das unbestimmte Integral der Funktion

f(x)=g[v(x)]*v’(x) (2)

Zu ermitteln. Um von (1) Gebrauch zu machen, setzen wir voraus, dass g(v) eine Stammfunktion hat d.h.

G'(v) = g(v) «. \g(v)d_v = G(v) (3) und die bestimmt werden kann. Es giłt \g[_V(x)y{x)dx = GM*)]    (4)

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Die Richtigkeit von (4) kann durch Probe sichergestellt werden, indem man pruft ob die Ableitung der rechts stehenden Funktion dem Integranden gleich ist. Nach der Kettenregel ist

(G[v(x)])’=G’[v]*v’(x)    (5)

Beachtet man (3),dann nimt (5) die Form an

(G[v(x)] ’=g(v) * v’(x)

die gleichbedeutend mit (3)ist.

Die Bestimmung des unbestimmten Integrals von (2) besteht daher darin, dass man das einfachere Integral (3)findet und gemasst(4) v durch v(x) ersetzt. Der Vergleich von (3) und (4) ergibt

v=g(Jf)

jg[v{x)y(x)dx = [ {g^)(/v]

^ie Pemerkung auf der rechten Seite bedeutet,dass in einem unbestimmten Integral G(v) fur v die Funktion v(x) eingesetzt werden soli

Zwei Deutunzen der Gleich unz (6)

iest man die Gleichung (6) von links nach rechts, so gelangt man zur folgenden Regel. Das Integral eines Produktes lasst jeaesmal dann ermitteln, wenn der eine Faktor eine Verkettung g[^v(x)] und der andere Faktor die Ableitung g’(x)der inneren Funktion ist, vorausgesetzt, dass sich das Integral fur die aussere Funktion g(v) bestimmen lasst.