Skan0

-5

-5

Mann kann auch die erste hinreichende Bedingung heranziehen, die sich auf den Yorzeichenswechsel bezieht.

Das Vorzeichen wechselt beim Passieren der Stelle x, = von + nach - (Maximum) und beim Passieren der Stelle x₂ = 1 von - nach + (Maximum).

Extremwertaufgaben auf abgeschlossenen Interyalłen

Betrachten wir die Funktionen

/(x)=|x-3|+l,xe<l;4>=I, und g(x) = sin\](x-1)² ,x e< 0;2,5 >= I₂

l 4-

Die Funktión /(x)=|x-3|+l

- 2 fur x > 3 xfurx <3

hat verschiedene einseitige Ableitungen bei x₀ = 3 d.h. f 3) = 1 und / (3) = -1. Anschaulich bedeutet das, dass es zwei Tangenten im Punkt (3;1) gibt. Aber wir entnehmen dem Graphen von/x), dass die vorgelegte Funktión bei x₂ = 3 ein globales Minimum und bei x, = 1 d.h. am Rande des Intervalls ein globales Maximum hat.y(4)=2 ist ein lokales Randmaximum.

Die erste Ableitung von g(x)

g (x) = -3, ■■ • cos\j(x-\)² 3vx-l

hat auf I₂ keine Nullstelle. Bei x₀ = 1 ist sie dagegen nicht vorhanden und zwar g_(1) = -°o und g₊(l) = 00 sind die einseitigen Ableitungen uneigentlich und verschieden.

Zusammenfassung

Ais Extremstellen von/x) kommen auf kompakten Intervallen I kommon in Betracht:

1.    Stationare Punkte von/d.h. Stellen, an denen / (x) = 0

2.    Singulare Punkte von d.h., in denen / (x) nicht existiert

3.    Randpunkte von I