Skrypt

Zad. 2.10. Obliczyć    ■

Rozwiązanie.

3rr - 2n — i .im --———

n—co    4n- — o

lim

n—oc-

3 - - + -- ■-* X 4+3

Zad. 2.11. Obliczyć iim_fl_₀o Rozwiązanie.

_v 4n² - 2 hm —-

-,-jc 3 _ _n

~ lim

n—os

-OC'

- = — OC.

-1

Zadania 2.9-2.11 ilustrują pewien ogóiny fakt dotyczący granic ciągów wymiernych, mianowicie:

Jeżeli ciąg (c_n) jest ilorazem dwóch wielomianów tego samego stopnia, to lim*—** o„, równa .się ilorazowi współczynników tych wielomianów przy najwyższych potęgach..

Jeżeli stopień licznika jest większy od stopnia mianownika, to ciąg (c_n) jest rozbieżny do — cc lub — oc.

Jeżeli stopień licznika jest m-niejszy od stopnia mianownika, to    a_r„ = 0.

Zad. 2.12. Obliczyć lim*—*,(V n² — n — vr>² — n — 7 Rozwiązanie.

lim (y/n² — n—Vn² — n — 7) = lim

71 —-20 '    '    ^ ^v

= lim —

(v+-² — n — y>+ t? — l)[\/n¹ — n -r s/n² — n — 7)

On² — n 4- yn² + n + i

n- — n — n‘ — n — 7    .    —2n — 7

=====---..    — =- = lim —; —    - — . = ... =

-.—co y'?;- — n — v+" + n -r 7    ¹~ Vn² — n -f \/n² + n -j-T

-2 -

= urn

—20

V

Zad. 2.13. Obliczyć

V ^ — irYi"*

Rozwiązanie.

1—2 — 3 — 4-r... + (2n - 1) - 2n

iim

n—oc

y 1 - Sn³

C—1) ‘ ⁿ - -i

= hm 77:.. == — = i;m

71—«■ CC-

Zad. 2.14. Obliczyć lim_n^co(f)ⁿ|yrrr|. Rozwiązanie.

_/4_ł,oⁿ⁺³-2

4J 5ⁿ • 5³ - 2

hm (f)ⁿ- - lim    —    ■ w—;-—    = lim -j-= —    = 500

—oc ₀ ■ ąn-l _L    3 n—cc    oⁿ f • 4”    — Ó r,—co I _    4:    7

4    4"    4