Skrypt

-⁰⁴ logjry;

Zad. 2.15. Obliczyć lim*.—* ^los’ ^vrt Rozwiązanie.

logo syn

_v..    oiog₃n

lim :——■ nm 4-— = nm

h logo n

_o

³⁰ log₂7 Vⁿ

™ ;££i ya    n—» i . ^ los, n

log, 27    -    -    -~

Zad. 2.16. Obliczyć lim_n_x,(5nsin ^}. Rozwiązanie.

2	.. .5 sin . 5	10
—	i = .:m i - • —) = -	— ~
3n	^ 2 3vT 2	3
li a	«) 0 wyrazie on = 2 + 3	- 3^2 - .	.. — 3^n. Obliczyć

lim.-.-.oo -^5a-.

Rozwiązanie. Łatwo zauważyć, że a_r> — 2 = 3 — 3² — ... + 3ⁿ jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego, czyli

on—1

On = 2-3

1 - T' -4 - 3 - 3

y ₃n-i

1 - 3

-9

Stad

l-3ⁿ

—— = nm -7-~o'--o = lim

a_fl+i    + 3    3

Zad. 2.18. Rozwiązać równanie

. .    i-i-t--..-!-!)"-¹

i * x * i lim --t-i-i--—t—— = cos 2x — tg x.

' n—50    i L _L j_ _    ^J

4    13 ^ 64 ¹ ' ' ‘ ¹ 4ⁿ

Rozwiązanie. Zauważmy, że (* * *} ma sens dla x E R — {y + fctf}. Korzystając ze wzoru na sunie nieskończonego ciągu geometrycznego, otrzymujemy

1- w

- — - 4- - —    + i —    i'" ^: -

i *    2    4 ' S    ~ ^J

7 — tt “ -j- . . . ^—77

4 Ib td4    '    4'¹

Stad

2 -sin¹ x cos

(* * *) 44 cos 2a’ + tg x =

tg x = 2 sin" x 44 sin x

44 sin x = sin s sin 2x 44 (1 — sin 2a?) sin x — O 44 sin 2x = 1 V sin a' = 0.

Otrzymane równania trygonometryczne dają się elementarnie rozwiązać, mianowicie 2x = Ł — 2k~ lub x — k~.

Odp.

4    —

18