str015

36

19.    Każdy zbiór należący do rodziny jest zbiorem mierzalnym, ponieważ zbiory z rodziny V są mierzalne, a rodzina zbiorów mierzalnych stanowi <r-cialo. Zatem na podstawie zadania 16 dowolny podzbiór X ma otoczkę mierzalną. Miara zewnętrzna y‘ jest więc regularna.

20.    Odpowiedz: miary zewnętrzne zdefiniowane w zadaniach 7, 0, 10 są regularne, natomiast zdefiniowane w zadaniach 8, 11 nie są regularne.

21.    Na podstawie zadania 12, y‘_Q jest miarą zewnętrzną. Niech A C H. Z regularności miary zewnętrznej y’ wynika, że istnieje zbiór B /i*-mierzalny taki, że AC B \ y'[A) = y(B). Oczywiście, ,4 C BOH C B, skąd otrzymujemy nierówności

f(A)<y(Br\H)<y(B)=y'(A).

Na podstawie zadania 12 zbiór B O H jest ^-mierzalny. Zatem /<S(A) = y'(A) = y(B n H) = y₀(B n H).

Stąd wynika, że miara zewnętrzna yÓ jest regularna.

22.    Na podstawie zadania 13, /ij jest miarą zewnętrzną. Z regularności y” wynika, że dla dowolnego zbioru iC-Y istnieje otoczka mierzalna B. Aby udowodnić, że ul jest regularna, wystarczy sprawdzić, że otoczkę /ij-mierzalną zbioru A stanowi zbiór B C\H.

23.    Rozważmy miarę zewnętrzną y" daną wzorem z zadania 8. Na podstawie zadania 20, y’ nie jest regularna. Zauważmy, że jedynymi zbiorami /^-mierzalnymi jest zbiór pusty i zbiór H. Miara zewnętrzna y'_Q jest więc regularna, ponieważ dla zbioru pustego /ijj-otoczką jest zbiór pusty, a dla pozostałych podzbiorów zbioru H, /łj-mierzalną otoczką jest zbiór H.

24.    Niech B„ =    Zatem B_n C B_n+1 dla dowolnego n £ N oraz

lim_n „ A_n =U~=i nr«M*=UŁ» B„= liinn-oo B_n. Na podstawie twierdzenia 2

y( lim A_n) = y{ lim B„) = lim y(B„) < lim y(A„).

25. Z założenia wynika, że dla dowolnego zbioru .4,, istnieje mierzalna otoczka B_n- A zatem

lim A„ C lim B„.

Stąd i z zadania 24 otrzymujemy

/i*( lim A_n) < y( lim B„) < lim y{B_n) = [im y*(A_n).

26. Jeżeli A_n jest wstępującym ciągiem zbiorów, to lim_{n c0} A_n = lim_n-oo A_n-Na podstawie zadania 25 wystarczy wykazać, że

Powyższa nierówność wynika z inkluzji

.4„ C lim Ak dla dowolnego n 6 N.

i —«s

27. Niech .V = H,

gdy A = 0, gdy 0 A C N.

Niech ,4„ = {k 6 N : k > n). Zauważmy, że .4„+i C i4_n dla dowolnego n € W i

00

lim /l„ = lim .4_n = Pl A_n = 0,

n—co    n —co,    ¹

nsl

skąd wynika, że

O = p*( Kim A_n) < lim fi^m(A_n) = 1-

n—co    n—cc

28.    Odpowiedź: równość nie jest prawdziwa. Wystarczy rozpatrzyć przykład z zadania 27.

29.    Niech ;i" będzie miarą zewnętrzną zdefiniowaną w zadaniu 8, gdzie X = N. Rozważmy ciąg zbiorów A_n = {k £ N : k < n}. Wówczas

2 = /i*( lim A_n) > lim n‘(A_n) = 1.

n—cc    n — co

Zatem /i’ nie spełnia warunku (I) z zadania 25, a także nie spełnia warunku (II) z zadania 26.    .

30.    Wystarczy rozważyć miarę zewnętrzną /r* z zadania 11. Na podstawie zadania 20, /<* nie jest regularna. Niech {.4_n}_neH będzie dowolnym wstępującym ciągiem podzbiorów przestrzeni X = M. Rozważmy dwa przypadki, gdy zbiór U“₌₁ A_n jest skończony i gdy (Jn⁵=i^'> J^est nieskończony.

Łatwo sprawdzić, że w obu przypadkach zachodzi równość (II) z zadania 26.

31.    Jeżeli zbiór A jest mierzalny, to w szczególności zachodzi równość

f(X)=n^m{A) + ?{X-A).

Załóżmy teraz, że zachodzi powyższa równość. Wystarczy udowodnić, że dla dowolnego zbioru B C X

. _l?(B)>it'(Br\A) + if(B-A).

Miara zewnętrzna n' jest regularna, więc istnieje zbiór mierzalny C taki, że B C C iżT(B) =MC).

Z mierzalhości zbioru C wynikają równości    ,

H^m(A) = f(CnA) + n'(Cr\A'), fi'(A‘) =■ f {C C\ A¹) + n’(C' n A).