Wyklad (20)

20

y = (Cj +C₂3cy^

(11)

die allgemeine Lósung der homogenen Dgl(l). Die Richtigkeit des Ergebnisses kann einfach durch Einsetzen in (1) bestatigt werden.

3. Der Annahme A < 0 entsprechen zwei verschiedene konjugiert komplexe Nullstellen von (4)

t\ -A- i Aj, r₂ = A + iA_l;

A, =

(12)

DemgemaB sind auch komxwertig folgende linear unabhangige Lósungen

e^(X-^^)xunde^a+iĄ)x (13)

Es werden rein formal aus diesen Funktionen reelle Funktionen gebildet

₊ e^*^,x,)x]= e*'^x cosĄx

+e^{Ull,*]=eⁱ'^xsmA_lx(11)

Nach Satz 2 ist die Vermutung berechtigt, dass diese Funktionen die Dgl(2) erfiillen. Diese Vermutung lasst sich durch einfaches Einsetzen in (1) nachpriifen. Da dies zutriffi, dann sind die Ausdrucke (14) linear unabhangige Lósungen der Dgl(l) und die allgemeine Lósung lautet nach Satz 2

v = e^AX(C_l sin A_lx + C₂ cos/l,x)

(15)

Erzwungene Schwingungen (drgania wymuszone)

Besonders wichtig sind die Differentialgleichungen 2.0rdnung in der Mechanik. Das 2. Newtonsche Axiom

F = ma    (1)

beinhaltet namlich die Beschleunigung a, die bei der geradlinigen Bewegung ais zweite Ableitung des wegen x nach der Zeit definiert ist d.h.

F = mx.    (2)

Wir wollen jetzt die Schwingung eines Kórpers in einem