Wyklad (25)

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zu finden, da die allgemeinen Lósungen der zu (30) gehórigen homogenen Dgl schon in (a) gefunden wurden. Der Ratenansatz

x=a sin co t +b cos co t    (31)

eingesetzt in (30) fiihrt zur Gleichung

{^co²a-2/3cob + (o₀²a)sm cot + {^Q)²b + 2/3o)a + a)₀²b)coso)t = f₀ cos cot (32)

Setzt man die Koeffizienten von sin co t und cos co t gleich, so erhalt man ein lineares Gleichungssystem.

|(®₀²    ab = 0    _(J2)

\(a>₀²-a>²)> + 2/3ii>a = f₀’

mit den Lósungen

a -

b =

o²)² +

(®₀²-®²Vo

2 2 CO

= A sin cp

(33)

= A cos cp (34)

(o.)² -co₀²J +4/3²cd²

Durch die Bezeichnungen a=A sin <50 und b=A cos cp vereinfacht sich (31) zu einer Funktion

x = Acodwt-cp) ,

j

die eine harmonische Schwingung mit der Kreisfreąuenz der erregenden Krafl

(oder Stórungskraft) (5) beschreibt. Den Nullphasenwinkel cp findet man durch Division von (33) durch (34)

tana =

2 Pw

>)

Die in (35) auftretende Amplitudę^ findet man durch Quadieren der Gleichungen (33) und (34) ihre Addition und Wurzelziehen ais Funktion von w

A(w) = arctan ■.    ,, ■ _!----------- .=.    (37)

y(w² -w₀²)² + 4J3²w²

Die allgemeine Lósung der Dgl (30) ist die Summę der speziellen Lósung der inhomogenen Gleichung (35), (36) und der allgemeinen Lósung der homogenen Gleichung (8). Wie beschranken uns auf den Fali (11) mit der allgemeinen Lósung (17). Danut ist

x - A cos(wt -g>) + A₀e~^fit sin(w_gt + cp).    (38)

Die Bewegung setzt sich also aus einer harmonischen und einer gedampften Schwingungen zusammen. Die letztere klingt mit der Zeit ob, so dass sie nach einer gewissen Zeit auBer acht gelassen werden darauf. In diesem Fali sprechen wir vom stationaren Zustand (stan ustalony) und bezeichnen die Bewegung ais erzwungene Schwingung (drganie wymuszone). Es ist zweckmaBig bei ihrer Beschreibung nach (36) cp durch a zu ersten