Wyklad (8)

8

C + x

(2)

—\-x-C ,C<0,x<C

2 y²

y 2

⁺J_. Li

--I2 VC-x

(3)

^3

C = O , x < O

(4)

Bemerkung. Die allgemeine Lósung (2), (3) und (4) schlieBt den Fali y - O aus, was mit der Voraussetzung y* O iibereinstimmt. Setzt man in (1) y & O ein, so zeigt sich, dass diese Funktion die Dgl erfullt. Sie ist aber kein Sonderfall der allgemeinen Lósung. Sie ist also nicht in der Lósungssch ar enthalten.

Definition. Eine Lósung einer Dgl, die kein Sonderfall der allgemeinen Lósung ist heiBt stationar. Bemerkung. Setzt man in (3) f(x) = -p(x) und p(y) = y, so ergibt sich ais Sonderfall die zu (l)gehórende homogene Gleichung.

Ahnlichkeits (3 Dgl (homogene Dgl równanie różniczkowe jednorodne wygledem x i)

Es sei die Differentialgleichung

{x + y)y'-y = 0    (l)

vorgelegt. Es ist hier unmóglich die Veranderlichen zu trennen. Dividiert man aber (1) durch x, dann erhałt man eine Dgl

v

XJ

(2)

Beispiel 2. Es kann auch vorkommen, dass eine Dgl sich ais nach x auflósbar zeigt. Eine Beispiel dafiir bietet die Gleichung

x

(4)

dx

Trennung der Variablen und anschlieBende Integration ergibt

f = f—, y * 0 und x * 0 ^J y ^J x

-i = ln|x| + ln|C"|, CV0 =ln|Cj|x|

x = Ce'^//\ C = —.    (5)

C'