014

1.20 Dokażte, że pro libovolna komplexni ćisla zi, Z2, 23 7^ 0 plati:

a) z\ + Z‘2 = z\ + Z2 b) —z\ — —z\

c)

Z3

1.5 Absolutni hodnota komplexniho ćisla

Pojem absolutni hodnota realneho cisla je vam dobre znamy; pokusime se jej nyni zobecnit i na cisla komplexni. Poużijeme k tomu soućinu sdruźenych komplexnich ćisel, o nemż vime, że je - tak jako absolutni hodnota ćisla realneho - vżdy nezaporny; ma tedy smysl zabyvat sc jeho druhou odmocninou.

Pro druhou odmocninu soućinu ćisel z = a + bi, z — a — bi plati \fz! = \/«² + b'². V pripade, że ćislo z je realne, także je b = 0, z = a, dostavame

— |a| = \z\,

coż znamena, że pro absolutni hodnotu komplexniho ćisla z = a + Oi plati

\z\ = v/zJ.

Tento vztah rozsifime i na ćisla imaginarni a definujeme:

Z teto definice bozprostredne plyne:

Pozndmka. S geometrickym vyznamem absolutni hodnoty komplexnich ćisel se seznamime v ćlanku 2.1.

Pro poćitani s absolutmmi hodnotami komplexnich ćisel plati podobna pravidla jako u ćisel realnych. Duleźita jsou zejmena tato:

Pro libovolna komplexni ćisla z\, z-z plati

■ : '

\ziz₂\ = MN;

je-li z₂ 7^ 0, plati

liii

M

Ukaźme si, jak jednoduśe se zduvodni treba platnost prvniho z nich:

1*1*21 = n/(*1*₂)*1Z2 - \fz\Z-zZ\ 22 = \A*l*l)(*2*₂) = - \ZziJT ■ y/z^Ę = |zx| • \z₂\

Priklad 6

Urćete absolutni hodnoty ćisel Zi =    .* + 1 — 2 i, z-₂ = ^    •

Reśeru

Absolutni hodnotu ćisla z\ urćime tak, źe ćislo Z\ vyjadfime ve tvaru zi = a + 6i, odkud dostaneme \z\ \ = \fa² + b²:

z\

1    + 2i _    (1 + 2i)(2 + i)

2    — i    (2-i)(2 +i)

+ l-2i

1 — 2i = 1

i,

także    _

I *i I = y/T^TFlp = V2.

27