062

4.3    Dokaźte, że pro każdy bod P leżici v rovine pravidelneho n-uhelniku AqAi ... A„_i plati

\PA₀\* + \PAi |⁴ + ... + |PA_n_x|⁴ = n (d⁴ + 4d²7?² + 7?⁴) ,

kde R je polomer krużnice jemu opsane a d je vzdalenost bodu P od jejiho stredu.

4.4    Dva hmotne body zaćinaji konat rovnomSrny pohyb po teże kruż-nici, z teże poćatećni polohy a v temż okarnżiku. Urcete, ve kte-rych ćasovych okamżicfch budę jejich vzajemna vzdalenost d, je-li pornSr jejich uhlovych rychlosti roven | a pohybuji-li se po kruż-nici

a) v ternże srnyslu,    b) v opaćnych smyslech.

4.5    V mnożine C reśte rovnici

4.6

eislo plati-li pro ne

W

1 = 0.

4.6 Urcete, jakou nejvetśi absolutni hodnotu muże mit komplexni

1

z + -

z

= 1.

Z HISTORIE KOMPLEXNICH CISEL

Historia magistra vitae. Historie ućitelka zivot,a.

Historie komplexnich ćisel zacina koncern 15. stoleti pracemi ma-tematiku bolognske univerzity, ktera tehdy patrila k nejvćt§im a nej-proslulejsim v cele Evrope. V teto dobę se evropśti matematikove po-prve setkayaji s odmocninami ze zapornych ćisel, a to v souvislosti s hledanim korenu rovnice tretiho stupne. O vyreseni kubicke rovni-ce se manić pokouseli jiż staroveci matematikove rećti, ćinśti, indićti i arabśti, uspeśne vsak zvladli pouze nektere specialni pripady. Jeji obecne feśeni je spojeno se jmeny Scipion del Ferro (1465 1526), Niccolo Tartaglia (1500-1557) a Gerolamo Cardano (1501 1576), ktery ve svem dile Ars magna z roku 1545 zveiejml a dokazal Tar-tagliovu metodu reśeni kubicke rovnice a s jeji pomoci odvodil obecne vzorce, ktere dnes nazyvame vzorci Cardanovymi. Tyto vzorce jsou vśak pro yypoćet korenu velice nevyhodne, także v praxi se kubicke rovnice resi nejćasteji pribliżnymi metodami. Cardanovy vzorce maji take tu nevyhodu, że v nekterych pripadech vyjadruji realne kore-ny kubicke rovnice pomoci ćisel imaginarnich; tuto „zavadu“ pfitom nelze odstranit - lze dokazat, że żadne jine vzorce, ktere by tento „nedostatek“ nemely, neexistuji. Ukażme si pro ilustraci jednoduchou ukazku: podle Cardanovych vzorcu je jednim ze tri korenu rovnice

x³ — 7x — 6 = 0 ćislo

snadno se vsak

mużete presvćdćit, że koreny t.ćto rovnice jsou ćisla —1, —2, 3. Carda-novy vzorce tedy jedno z tćchto celych ćisel vyjadruji pomoci soućtu ćisel imaginarnich.

K hlubsimu pochopeni imaginarnich ćisel prispel ve druhe polovi-ne 16.stoleti dalfii bolognsky matematik Raffaelo Bombelli (1530-?); stoji za zminku, że ve sve knize Algebra, ktera vysla v roce 1572, resi i kvadraticke rovnice se zapornym diskriminantem. Diky jemu ztra-tila komplexni ćisla alespoń trochu svuj „zaliadny charakter", avśak k tomu, aby jej ztratila uplne, było zapotrebi jestć tri staleti.

V 17. a 18. stoleti ukazali Abraham de Mowre (1667 1754), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) a zejmena Leonhard Euler (1707-1783), że komplexni ćisla maji uplatnćni i v jinych oborech

123