1954 Geometria 166

3.    Ak je każdy bod priamky a v polpriestore qA, je a || q. Dokażte to. Możno vetu obratit 1

4.    Kolko polpriestorov odd^Iuju tri roviny, które maju vzajomnu po-lohu 1, 2, 3, 4, 5 z vety 31 N aj di te body, które leżia sucasne v 3,4, 5, 6 tychto polpriestoroch.

5.    Ake spoloćne utvary może mat priamka (rovina, polrovitia_vpolpriam-ka) § polpriestorom 1

6.    Na hranach AB, CD, C'D' kocky ABCDA'B'CD' su dane body P, Q, R tak, że Ajp= j AB, CQ = j CD, C'R = 1 CD’.

Oznacte M, M' stredy stien ABCD, A'B'C'D', S stred kocky. Zistite, który z bodov M, M', 8' leżi v priestore qA, kde o = PQR. Je dany stvorsten ABCD\ M je stred hrany AB.

a)    Dokażte, że tażisko T trojubolnika BCD a vrchol A leżia v opac-nych polpriestoroch odd denych rovinou CDM.

b)    Ak je U tażisko trojuholnika ABC, dokażte, że usecky AT, DU maju spolocny vnutorny bod.

^•5 różnych bodov leżi mimo roviny q. Kolko useciek spajajucich vżdy dva z nich pretne rovinu ę? (Su tri możnosti.)

II. METRICKE YLASTNOSTI 1. Kolme priamky. Kolmost’ priamky a roviny

V    doterajśich vysvetlivkach sme preberali ylastnosti incidencie, rovnobeżnosti a usporiadania. Tieto ylastnosti nazyvame suhrnne vlastnosti polohove. Teraz sa móżeme zaoberat tzv. ylastnostami met-rickymi; su to Ylastnosti, które sa opieraju o pojem zhodnosti.

V    7. rocniku sme zaviedli pojem zhodnych useciek i zhodnych utva-rov v rovine, które nie su castou priamky. Najdóleżitejsie poucky, z których sme pri tom vychadzali, boli tieto dve axiómy:

Axióma VII. Danu useSku AB możno prenicst na darni polpriamku GD s jędrnym vysledkom. Inyini slovami: na polpriamke CD existuje jediny bod E tak, że useCky AB, GE su zhodne.

Axióma VIII. Nech su dane v rovine dva trojuholniky ABC,KLM. Potom rovinu możno premiestit s jedinym vyslcdkom tak, że bod A prejde do bodu K, polpriamka AB do polpriamky KL a polroyina ABC do polroviny KLM.

Zhodnost priestorovych utvarov, t. j. utvarov, które nie su castou roviny, nemożno zaviest tak jednoducho ako v planimetrii pomocou premiestenia; dalej este budeme o tom hovorit. Zatial’ postaci, ak za-vedieme żhodnosf useciek a rovinnych utvarov, leżiacich hoci aj v roz-licnych rovinach. V tychto pripadoch móżeme totiż povażovat tak ako v planimetrii za zhodne tie utvarv, z których jeden vznikol pre-miestenim druheho.

Pri odvodzovani vlastnosti budeme teda vychadzat jednak z axió-my VII, jednak z axiómy, która je zovśeobecnenim axiómy VIII a ktorg. znie:

Axióma VIIIa. Nech su o, a dveIubovoIne roviny; nech je y rovine o dany trojuholnik ABC, v royine a trojuholmk KLM. Potom royinu o możno premiestit s jedinym yysledkom do royiny a (stotożnit s rovinoua) tak, że bod A prejde do bodu K, polpriamka AB do polpriamky KL a polroyina ABC do polroviny KLM.

Pomocou axiómy VIIIa możno dokazat vlastnosti zhodnych utva-rov, leżiacich vo dvoch różnych rovinach. Tak napr. możno dokazat

167