1954 Geometria 298

d) Ak su dlżky hran a, b, c daneho kvadra racionalne ćisla, cxistuju

prirodzene cisla a', b’, c', n take, że plati a = —,b = — ,c = —. Preob-

n n n

jem daneho kvadra najdeme podia b) (ak zvolime k = —) a podia

71

i!

a) a’. b'Ąc'. -i, co sa rovna abc.

■t _nr

^!? e) Ak napokon rozmery a, b, c su Tubouolne realne (kladne) cisla, podia ich znamej vlastnosti móżeme pisał nerovnosti

a_n ^ a ^ a„ ; b„ ^ b ^ b'_n ; c„^c <^cń,    (1)

kde a_n (ań) je n-ty clen neklesajucej (nerastucej) postupnosti istych racionałnych cisel (podrobnosti pozri v cl. 1 predośleho oddielu), których limit je prave ćislo a. Obdobne je to pri dalśich nerovnostiaeh v(l). ^

Dany kvader ABC.. . H (obr. 55) zovrieme teraz medzi dve postupnosti kvadrov; pritom pod postupnostou kvadrov rozumieme sustayu kvadrov s poradoyymi cislami 1,2,. .. ,n,...; n-ty kyader AB_nC_n. . .H_n prvej postupnosti budę mat rozmery a_n, b_n, c_n, n-ty kyader AB'_n C'_n .. .Hń druhej postupnosti rozmery a'_n, bń, ej,. Pretoże ich rozmery su racionalne cisla, móżeme pre ich objemy V_n a Fń poużit yysledok d),

P j *    = Cln b_n C_n, Pn ⁼    C_n .

Sucasne vśak (vzh ladom na poznamku 3 cl. 1) móżeme pisaf ne-rovnosti F„ ^ V Vń , kde V znamena objem daneho kvadra, a teda pre każde prirodzene n platia nerovnosti

a_nb_nCn ^ V ^ ań b£cń;    (2)

limitujme neroynosti (2); dostanemelima_n6_nc_n sHim F iS lim ańl>ń^cń-

n->oO    n->oo n->-oo

Pretoże vśak

lim a_nb_nc_n = abc, lim ańbńcń = abc, lim F = V,

n-y go    n—y co    n-y 00

yyplyya z toho, że F = abc, ako sme mali dokazat.

Cvicenie

1. Ako sa zmeni objem kyadra, ak

a)    jeden z jeho rozmerov nasobime cislom h,

b)    jeden z rozmeroy nasobime h, druhy k,

c)    jeden z rozmeroy hasobime h, druhy k, treti l,

d) każdy z rozmerov nasobime ćislom h (odóvodnite z toho, prećo je menitelom objemovych mier v metrickej sustave ćislo 1000). (Cisla h, k, l só kladne.)

2.    Ako treba zmenit rozmery kyadra, aby sa jebo objem

a)    zmensil styrikrat,

b)    zvaćsil trikrat.

3.    Stredom kyadra vedte roviny rovnobeżne s jeho stenami; akń ylastnost maju kvadre, pre które su tieto roviny rovinami troch stien a których d’alśie steny leżia v royinach stien daneho kyadra? Kolko je kvadrov s touto ylastnostou? Vysledok porovnajte s ulohou 2.

4.    Rozmery a, b, c daneho kyadra sme ziskali meranim, pri ktorom pripuśtame chybu rovnajucu sa e-nasobku meraneho rozmeru (e ^ o je dost małe, napr. | e | = 5%₀). Urcte medze pre presnu hodnotu objemu V' kyadra a) presne, b) pribliżne. Co yyplyya z toho pre yypocet objemu kyadra zo zmeranych rozmeroy ?

Ciselne: a = 47,3 cm, b — 26,6 cm, c = 61,8 cm, | s | = ^r%-

5.    O kolko sa zvac§i objem kva.dra, ked ysetky tri jeho rozmery a, b, c zvacsime o kladne ćislo £?

Ukażte, że v pripade, ked’ e je v pomere k rozmerom kyadra dost małe (napr. tisicina najmensieho rozmeru), prirastok objemu kyadra sa pribliżne royna (ab -f- ac bc) s.

Ciselne: a = 100, b = 50, c = 20, e = 10^_3.c.

6.    Rozmery kyadra su dane pribliżnymi hodnotami a ± e, 6 =k £, c i e (s >0jev pomere k rozmerom kyadra velmi małe). Urcte medze, v których leżi presna hodnota objemu kyadra a) presne, b) pribliżne (poroynajte s ulohou 5).

7.    Kyader ma rozmery a = n,b — ]/ 3, c = ]/ 2. Dane rozmery zaokruh-lite a) zostupne, b) vzostupne na stotiny.

a)    Urcte objemy V' a V" obidvochpomocnych kvadrov (F' < V")’,

b)    urcte rozdieł s — F" — V a udajte jeho yyznam pre presnu hodnotu F objemu daneho kvadra (poroynajte s cvić. 6).

Fypoćitajte dlżku hrany kocky, której objem sa rovna dvojnasob-nemu objemu kocky o hrane a.

9. Urcte objem kocky ypisanej guli o polomere r.

19. Urcte objem kvadra s telesovou uhlopriećkou u a £9 rozmermi v pomere p : q : r (p, q, r su kladne),

299