1954 Geometria 250

kde a', b' su l’ubovoIne prirodzene ćisla (a kde teda k je kladne cislo), możno dany obdlżnik pokrył śtvorcami o strane k y poetę a'b'. Obsah daneho obdlżnika sa podia poznamky 2 k definicii ob-sahu rovna

P = a'b'.K,

kde K je obsah stvorca o strane k.

4. Ak je n prirodzene cislo, potom obsah stvorca P o strane — rovna

sa

1

n

2*

n

Skutocne, ak v ods. 3 tohto dókazu

a = b — 1, a' = b' = n, 1

c =

n

obsah jednotkoveho śtvorca vyjadrime v tvare

1 = n²K;

z toho dostaneme

^K = \

5. Ak su a, b racionalne cisla, móżeme ich napisał v tvare

„_v_    _h_<i

(t —    « u — ■—j

n    n

kde p, q, n su prirodzene cisla. Obsah obdlżnika o rozmerocji a, b sa podia ods. 3, 4 dókazu tej to vety rovna

d    1 p q ,

,P= p . q . — = — . — = ab.

n n

6. Treba eśte dokazat, że vzorec P = ab plati aj ytedy, ked’ a, b su IubovoIne realne (klaclne) cisla. I tymto pripadom ste sa uż zaobe-rali (v 9. rocniku); rozmery obdlżnika boli 2, j/3. Postup, który ste vtedy sledovali, teraz len zovśeobecr :me.

Poznamka. Predovśetkym si musime uvedomit jeden dóleżity yysledok z nauky o realnych cislach. EubovoIne realne cislo a móżeme napisał v tvare limitu postupnosti racionalnych cisel

a = lim a_n,

n ->■ cO

kde każde a_n je desatinny zlomok. Ak napr. a = ]/3, ma tato postup-nosf tvar

«!= 1,7; a₂ — 1,73; 03= 1,7320; a₄ = 1,7320, a₅ = 1,73205; a₆ = 1,732050; o, = 1,7320508;'...

Tato postupnost je neklesajuca a ma limit a.

Podobne móżeme cislo a vyjadrii! ako limit nerastucej postupnosti. V nasom pripade to budę limit postupnosti aj = 1,8; a'₂ = 1,74; oś = 1,733; aj = 1,7321; aj = 1,74206; aj = 1,732051; aj = = 1,7320509;...

Pritom je    c'_n

a_n ig a ań. *)    1

0,

Teraz dokażeme tvrdenie 6. Nech su rozmery obdlżnika ABGD realne cisla a, b. Podia toho, co sme si po-vedali predtym, zovrieme realne cisla -^ a, b do racionalnych medzi.

a_n^a ^ a'_n,

b_n^b^ b

B.

Zostrojime dva obdlżniky :AB_nO_nD_n o stranach a_n, b_n a ABnG'_nD'_n o stra-

nach aj, bu (obr. 5). Pretoże ich strany maju racionalne vel’kosti, obsahy tychto obd!żnikov su po poriadku rovnake.	#
	<
	Obr. 5
Pn — &nbnj Pn — Podia poznamky 1 pri definicii obsahn plati pre obsah P obdlżnika
ABGD Pn^P^ PI		(2)
NeroYiiostj (2) móżeme pisati takto: « A < iA a'J>’r		(3)
Ak prejdeme k limitom, dostaneme lim anbn pj lim P pj lim ajój .		(4

n->cO    ,1-^00    11-y 00

*) Ak je a iracionalne cislo, plati iba a_n < a < ań-

251