1954 Geometria 184

zhodnymi śtvorcami; bod S' je stredom podstayy A'B'C'D’E'F'. Zobrazte priesek telesa dvoma rovinami, które su navzajom kolme, sńćasne obidve kolme na rovinu BB'E; jedna z rovin obsahuje priamku BS’, druha bod 8'.

Riesenie (obr. 40). Pretoże stvoruholnik BB'E'E' je (v skutocnosti, nie na obrazku) obdlżnik a BE — 2BB’, je BS' J_ S’E. Ak oznacime

a u₂ obidve hladane roviny rezu, q = BB'E, je BS' = g.a_v 8'E = = q . a.₂, priesecnica p =    . a_ż leżi v royine sestuholoika A 'B'G'D'E'F'

a plati p J_ B'E. Priamka p teda prechadza stredmi hran A'F' a C'D’. Balśia konstrukcia je zrejma z obrazka.

Obr. 40.

Cvićenie

1.    Dokażte: Danym bodom możno viesf nekonecne mnoho rovin kol-mych na danu rovinu.

2.    Dokażte: Priamka, która je kolma na priesecnicu dvoch yzajomne kolmych rovin a leżi v jednej z nich, je kolma na druhu.

3.    Popiśte stereometricky zname zakony odrazu a łomu svetla na ro-yinnom rozhrani dvoch prostredi. Vysvetlite najma, kędy a ako je urcena rovina dopadu.

4.    Urobte konśtrukciu roviny, prechadzajucej danym bodom a kolmej na dve dane roviny. Urobte diskusiu.

5.    Rozhodnite, które usudky su spravne a które nie, a odóyodnite prećo.

(p je priamka, o, a, n su roviny.)

^ ak je p _L q, q J_ a, je p || a; b) ak je q J_ o, o J_ n, je q || n; c) ak je q _L ct, a \\n, je q _L n‘, d) ak je p ]| q, q ± a, je p _L o.; e) ak je q J_ o _L n, je g J_ n.

6. Nech je dany styorsten VABC; oznacme q rovinu ABC. Nech su ix, fi, y roviny, które prechadzaju bodom V a o których plati a J_ BC, /3 _L CA, y _L AB: prieseciky rovin cc, /?, y s priamkami BC, CA, AB oznaćte po poriadku A_v B_v C_v I)alej nech je V₁ patou kolmice VV₁ _L q. Dokażte, że plati:

a)    « ± q, P 1 q, y _L e-

b)    Roviny a, fi, y sa pretinaju v priamke FF_X.

c)    Priesećnice A₁V₁, B₁V₁, C₁V₁ rovin oc, fi, y so stenami śtvorstena su po poriadku kolme na priamky BC, CA, AB.

1. Poużitim cvicenia 6 rieste ulohu: Urcte pomocou siete śtvorstena VABC patu Fj kolmice VV_t vedenej z bodu F na rovinu q = = ABC. Je dane AB = 8, BC = 1, CA = 6; a dalej

a)    VA = 6,8; VB = 8,2; VC = 7,6;

b)    VA = 7; VB = 10,5; VC = 5.

.S.pokażte, że pravouhlymi priemetmi dvoch rovnobeżiek p, q ^ ,do roviny n su bud dve rovnobeżky bud’ dva body.

9. Co su pravouhle priemety dvoch róznobeżiek (mimobeżiek) do tejże roviny? Urobte diskusiu.

10.    Dokażte: Ak je q || a a p priamka, która nie je kolma na p, jej pravouhle priemety do p aj do u su navzajom rovnobeżne. Możno vetu obratif?

11.    Odóvodnite, ako je możne, że

a)    pravouhlym priemetom kosouhleho rovnobeżnika je niekedy obdlźnik;

b)    pravouhlym priemetom obdlżnika jeniekedykosouhłyrovnobeż-nik. V pripade a) yyjdite od kvadra a na bocnych hranach voIte tri luboyolne body. V pripade b) vyjdite od h©lmeho hranolu, ktoreho podstavou je rovnobeżnik, a v jednej stene v«Ae priam-ku.

12.    Je dany kvader ABCDA'B'C'D' v zakladnej polohe. Vo vo!nej projekcii zobrazte pravouhly priemet usecky AB' do rolriny ĄBC'.

185