1954 Geometria 236

Bod 8 z predoślych definicji je stredom guloTej plcchy alebo gule, r je polomerom gu!ovej płochy alebo gule. Body gule, które neleżia na guIovej płoche, su vnutorne body gule a tvoria vnutro gule.

Veta 39. Rovina a guIOYa płocha maju spolocnu bud¹ kruznicu (seCnś roYina), bud jediny bod, tzY. dotykoYy bod (dotykova roYina), bud ne-maju vóbec spoloiine body (nesecna roYina).

Dokaż (obr. 91 abc). Stredom 8 gul’ovej płochy vedieme kolmicu na dahu rovinu o a jej patu oznacime P. Ak je X l’ubovoInym bodom roviny, je SP SX (ked’ S = P, polożime SP = 0). Teraz treba rozoznavaf tri pripady:

a)    SP > r. Potom je tym skór SX > r a v rovine o neleżi nijaky bod gul’ovej płochy (nesecna rovina).

b)    SP = r. Tu je SX jA r; roynost nastanę iba pre X = P. Y rovine q je teda jediny bod P gu!ovej płochy (dotykova rovina).

Obr. 9 la

Obr. 91b

c) SP < r. Vedme bodom P Iubovol’nu priamku q v royine q. Pretoźe je SP JL Q, je SP ± q. Priamkou q polożme rovinu w J_ rovina co prechadza zrejme bodom S. Podia znamej vety z planimetrie móżeme tvrdit, że v rovine co na priamke q leżia dva różne body X_x a X₂, a to take, że SX₁ = SX₂ — r. Pritom je PX_t = PX₂ = yr² — SP² r; rovnost nastava iba vtedy, ked' S = P. Body X₁ a X₂ prisluchaju teda gu!ovej płoche. Ak teraz vedieme bodom P różne priamky v q, ob-drżime na każdej dva body gul’ovej płochy a ak je Y ktorykoIvek z nich, vżdy plati P Y = PX_V Spolocnym utvarom roviny q a guIovej płochy je teda krużnica o strede P a polomere yr² — SP².

Z dókazu vety 39 możno odvodi£ este dalśie tvrdenie:

Nijaka krużnica na gul’ovej płoche nema vaćśi polomer neż guIova płocha.

Krużnice na gu!ovej płoche, które maju ten isty polomer ako guTova płocha, yolaju sa hlavne, krużnice, które maju polomer mensi neż guIova płocha, yolaju sa yedlajsie.

Dotykoya royina je kolma na priam-ku, która spaja stred guTovej płochy s bodom dotyku.

Eahko możno rozhodnut aj o vza-jomnej polohe priamky a gul’ovej płochy.

Yeta 40. Priamka a gurova płocha maju bud dva body spolocne (scena), bud jeden bod, tzv. dotykovy bod (dotyeaica), bud nemaju nijaką spolocny bod (nesecna).

Dókaz (obr. 92) je celkom 1'ahky, a preto postaci uviest iba jeho myslienku. Danou priamkou a stredom płochy prechadza aspoń jedna rovina, v której skumame yzajomnu polohu priamky a priesekovej krużnice, która podia predoślej vety existuje a ma polomer r. Vysledok je opat zavisly od yzdialenosti priamky od stredu guloyej płochy.

Guloya płocha yytina na priamke, która prechadza jej stredom, usecku, która sa yola priemer. Yelkost priemeru sa rovna dyojnasob-nemu polomeru gule. Rovinu, która prechadza stredom gule, yolame hlaynou rovinou. Priesekova krużnica hlavnej roviny s gul’ovou plo-chou je hlavna krużnica; jej polomer sa rovna polomeru guloyej płochy. Krużnica na gul’ovej płoche, która nie je hlaynou, vola sa yedlajsia; jej polomer je mensi neż polomer płochy.

TJtvar, który je spolocny guli a ktoremukoIvek z obidvoch polpries-torov oddelenych secnou rovinou, yola sa guloyy odsek. Ak je secna

237