1954 Geometria 122

Priklad 9. Dane su dve róznobeżky p, q a bod A, który neleżi na-nijakej z nich. Mamę zostrojit krużnicu, która prechadza bodom A a dotyka sa priamok p,q.

Rieśenie. Predpokladajme, że hladana krużnica k = (8; r) je uż zostrojena. Oznacme M priesecik priamok p, q a urcme obraz k' kruż-nice k v IubovoInej rovnol’ahlosti so stredom M.

Krużnica k' sa dotyka aj priamok p, q. Skutoćne ma. priamka p s krużnicou k jediny spolocny bod (bod dotyku), preto obraz priamky p, ćo je opat priamka p, ma s krużnicou k' jediny spolocny bod. To iste tvrdenie plati aj o priamke q.

Zvolena rovnol'ahlosf preyedie bod Ado bodu krużnice k', który leżi na priamke MA. Tu su dve możnosti (obr. 140): bud’ je obrazom bodu A bod Abud’ bod A".

Z uvedeneho rozboru vyplyva konśtrukcia: Zostrojime IubovoInu krużnicu k' s (8'; r'), która sa dotyka priamok p, q a leżi ako bod A, v tom istom uhle, który je nimi urceny. Zostrojime prieseciky A', A" krużnice k' s priamkou MA. Bodom A yedieme rovnobeżky s priamka-mi 8'A' a S'A"\ ich prieseciky s priamkou MS' oznacime 8_X> S₂. Opise-me około stredov 8_V S₂ krużnice k_v k₂ tak, aby prechadzali bodom A. Każda ż krużnic k_v k₂ dotyka sa priamok % q, pretoże ju ddstaheine urćitou rovno!ahlosfou z krużnice k'. Ine rieśenia podia rozboru ulohy nie su.    "    '    '

l}loha ma teda dye rieśenia;

Predćhadzajuca konśtrukcia nevyhbvuje v tom pripade, ked’ bod .4 leżi na priamke <5', lebo potom priamky A'S', A"8', MS' splyyaju.

V tomto pripade vśak vieme zostrojif dotyćnicu hladanej krużnice v bodę A: je to priamka t, która je kolma na MS' (obr. 141). Aj v tomto pripade ma uioha dve riesenia: je to krużnica ypisana a tzv. krużnica zvonku ypisana trojuholniku, który je urceny priamkami p, q, t.

Teraz odvodime dóleżitu poucku o krużnici.

Veta 2. Dve krużnice k₁ ~ (S^, rj, k₂ = (<S'₂; r₂) s różnymi polomcr-mi su drojakym spósobom yo vzt’ahu rovnorahlosti, Co znamena, że możno najsf dve roynolahlosti, które prevadzaju krużnicu k_l do krużnice k₂.

T    V

^ri    ^ri    /

Koeflcienty tychto roynolahlosti su cisla — a---.

Ak su krużnice k_v k₂ sustredne, splynu stredy oboch roynolahlosti s bodom S₁ = S₂. Ak su krużnice k₁,k_% nesustredne, leżi stred jednej roynolahlosti medzibodmi S_v S₂, stred druhej na predlżeni useCky S₁S₂ za bodom S_x alebo za bodom S₂.

Dokaż, a) Ak su krużnice k₂ sustredne (obr. 142), a ak prevedie roynolahlostikrużnicu k_x do k₂, pre-vedie aj bod ^ do bodu S₂ = S_v Pretoże rovnol’ahlost nema okrem svojho stredu iny samodrużny bod, ' , Obr. 142

123