1954 Geometria 088

Priklad 14. Yypocitajte hodnoty funkcii sinus, kosinus a kotan-gens pre uhly 30°, 45°, 60°.

Rieśenie. Hodnoty sin30°, cos 30°, sin 60° a cos60°urcime z pravo-uhlóho trojuholnika, ktoreho ostre uhly maju vel’kost 30°, 60° (obr. 102). O tomto trojuholniku vieme z pr. 8, str. 56,że jeho strany suvpo-mere 1 : ]/3 : 2. Mamę teda

sin 30° = -i-, cos 60° =

Z    Z

Hodnoty sin 45°, cos 45° vypocitame z pravouhl€ho rovnoramenneho trojuholnika. Z pr. 8, str. 56 yieme, że jeho strany su v pomere 1:1 :j/2. Preto je

sin 45° = cos 45° = ^= =

|/2 2

Na obr. 103 je pravouhly trojuholnik ABC, ktoreho prepona AB ma. yelkost 1. Preto je

sin -źjiBAC = cos^c BAC =

BC _ AB ~ AC _ AB ~

BC

1

AC

1

= BC, = AC.

PravouhIy trojuholnik ABC je doplneny na rovnoramenny trojuholnik ABD (AB = AD = 1) a je narysovana krużnica k o strede A a o polomere 1. Z vety o zavislosti tetivy' kruźnice, prisluśneho stredoveho uhla a vzdialenosti tetivy od stredu kruźnice, ktoru ste poznali v 8. roćniku, vyplyva toto:

Ak sa zvacsuje uhol <C BAC, zvacśuje sa aj jeho dvojnasobok BAD; potom sa zvaćsuje tetiva BD aj jej polovica, t. j. usecka BC, a zmenśuje sa usecka AC.

To znaći: Ak sa zvacsuje uhol < BAC, zraCsuje sa jeho sinus (usecka BC) a zmenSuje sa jeho kosinus (usecka AG).

Toto nam potvrdzuju aj grafy funkcii sinus a kosinus, ktoró vidime na obr. 104 a obr. 105 a które su zostrojene obdobnym sposobom ako graf funkcie tangens.

Z definicie funkcii sinus a kosinus je jasne, ze nadobudaju iba hodnoty mensie neż 1. Aj tuto vlastnost vidime jasne z grafov.

Priklad 15. Dokaźte, źe plati

⁽¹⁾

Na zaklade tejto rovnosti vysvetlite priebeh funkcie kotangens.

Riesenie. Rovnost (1) vyplyva priamo z definicie. tg« rastie s rastucim uhlom, t. j. ak je a > fi, je tg » > tg (i. To znaci, źe ak je

89