1954 Geometria 244

Vrafme sa vśak este k łiasmu prikladu. Ak budę gui’ova płocha vel’mi veł'ka, nebudeme móct vóbec rozoznat, ci geometria, ktoru budujeme, je euklidovska, alebo nie. Nech hocako predlżujeme casti svojioh ,,pria-mok“, nedospejeme pri niektórych z nich z technickych dóvodov nikdy k prieseciku. A prave tak yśetky dósledky, które vyplyvaju z axiómy A V, nebudeme móct nijakym meranim potvrdit alebo za-yrhnut. Budeme mat teda ylastne slobodnu vol’bu rozhodmit, ci po-vażujeme naśu geometriu za euklidovsku s rovnobeżkami, ci za ne-eukłidoysku bez rovnobeżiek. Prakticky yysledok budę ten isty. V ob-dobnej situacii sme vśak v skutocnosti v hmotnom svete. Niektóre yysledky modernej fyziky, tzv. vśeobecnej teorie relativity, vzbudzuju pochybnosti, ci yóbec existuju rovnobezky a ci vśetky ,,priamky“ (pokiaT nie su mimobeżky) sa nepretinaju. O tomto raz fyzika budę móct rozhodmit najpresnejsimi meraniami v kozmickych rozmeroch. Matematik musi dat odpoved’, że je celkom dobre możne, że existuje geometria euklidovska prave tak ako neeuklidovska. Ak je nas hmo-tny syet neeuklidovsky, potom to v nasich pozemskych rozmeroch (a dokonca ani v rozmeroch mnohokrat yacśich) iiemożno prakticky po-znat.

Prvym objayitelom neuklidovskej geometrie boi słavny rusky matematik N. I. Lobacevskij, który prvy v r. 1826 jasne ukazał, że możno vybudovat geometriu bez axiómy AV (presnejsie povedane s inou axiómou ako je axióma A V). Lobacevskeho geometria je eśte insia ako neuklidovska geometria na gul’ovej płoche, ktoru sme skór uviedli. Vychadza z axiómy: Danym bodom mimo priamky możno k priamke viest viac neż jednu rovnobeżku. Touto axiómou nahradza axiómu AV. Aj tuto geometriu możno studovat na urcitej krivej płoche, która Yiśak yyzera inae neż gula.

Cyicenie

1.    Yśetky dotycnice vedene yonkajśim bodom V ku gu!ovej płoche vypłńaju rotacnu kuże!ovu płochu s vrchołom V. Ich dotykove body yypłńaju vedl’ajsiu krużnicu (tzv. dotykovu krużnicu), której rovina je koima na spojnicu stredu gu!ovej płochy a bodu V a jej stred leżi na tejto spojnici. Dokażte to.

2.    Vśetky dotycnice daneho smeru ku gul’ovej płoche vyplńaju ro-tacnń vałcovu płochu. Ich dotykowe body vypłiiaju hlavnu krużnicu, której rovina je koima na dany smer. Dokażte to.

3.    Urcte yśetky roviny sumernosti gule, odseku a guloyej yrstyy.

4.    Ak guloya płocha obsahuje tri body A, B, C, obsahuje aj krużnicu opisanu trojuholniku ABC. Dokażte to.

5.    Urcte konśtrukcne stred a polomer gule, która je opisana

a)    danemu stvorstenu;

b)    pravidelnemu śtvorbokemu zrezanemu ihlanu ABCI)A ’B'G'D';

c)    rotacnemu zrezanemu kużelu.

6.    Każda dotycnica gu!ovej płochy je dotycnicou k jednej hłavnej krużnici. V§etky dotycnice, które prechadzaju tym istym dotyko-vym bodom, yyplnaju dotykovu rovinu v tomto bodę. Dokażte to.

7.    Je dany pravidelny śtvorsten ABOD o hrane 6 cm. GuIova płocha obsahuje krużnicu ypisanu do trojuholnika ABC a prechadza ta-żiskom trojuholnika ABD. Urcte konśtrukcne jej stred a polomer.

8.    Je dany śtvorsten ABCD; AB == BC = CA = 6, AD = 5, BD — = 7, CD = 8. GuIova płocha ma stred C a prechadza bodmi A, B. Urcte konśtrukcne polomer dotykovej krużnice dotycnic vede-nych z bodu D ku gu!ovej płoche a dlżku dotycnic.

9.    Je dana kocka ABCDA'B'C'D'; bod P je stredom hrany CD', bod Q stredom hrany D'A'. Urcte stred a polomer gul’ovej płochy, która sa dotyka roviny ABC v bodę B a okrem toho a) preehadza bodom C; b) dotyka sa priamky AC; c) dotyka sa roviny DPQ;

d)    dotyka sa priamky QC',

10.    Dotykove roviny gul’ovej płochy v bodoch U, T sa pretinaju v priamke q. Dokażte, że je TU J_ q-

11.    Je dana kocka ABCDA'B'C'D'; bod M je stredom podstavy ABCD, bod S je stredom hrany AB. Priamkou B'D' vedte dotyko-ve rovin}^r ku gulorej płoche, która ma stred v bodę 8 a prechadza bodom M.

12.    Zvol’te si l’ubovol’ny stvorsten ABCD. Opiste, ako sa konśtrukcne urci stred gul’ovej płochy, która sa dotyka hran AB, CD v ich stredoch.

13.    Je dana guloya płocha o strede 8 a o połomere r a bod V mimo nej (SV = a, a > r). V priesecikoch gul’ovej płochy s priamkou 8V su zostrojene dotykove roviny o, g' a z bodu V su vedene dotycnice ku gul’ovej płoche: tieto yyplnia kużel’ov u płochu dotycnic k płoche.

a)    Urcte uhoł dotycnic s priamkou S V■

b)    Zistite, co je priesekom rovin q a q ’ s kużeJ’ovou plochou.

c)    Vypocitajte dlżku stran piasta zrezaneho kuźel'a s podstavami v rovinach q a q', który yznikol z kuże!ovej płochy.

245