1954 Geometria 194

yzhladom na tuto rovinu). Dana rovina sa vola royinou sumernosti utvaru.

Napr. priamka je sumerna podia każdej roviny, która ju obsahuje a podia każdej roviny, która je na priamku kolma. Naproti tomu usećka AB je sice tież sumerna podia każdej roviny, która ju obsahuje, ale z royin kolmych na priamku AB je rovinou sumernosti len ta, która prechadza stredom usecky AB.

Casto sa vyskytuje uloha najst ysetky roviny sumernosti nejakeho utvaru. Rieśenie ulohy ukażeme si na jednom priklade.

Priklad 8. Najdite ysetky roviny sumernosti utvaru zlożeneho z dvoch mimobeżiek.

Rieśenie. Oznacime.p a q obidve mimobeżky a p' a q' ich obrazy v sumernosti podia urcitej roviny n. Ak je n royinou sumernosti utyaru, musi byt bud’ p' = p a q' = q, bud’ p' = q a q’ = p. Najpry preberieme druhy pripad.

Nemóźe byt p ] | n, lebo potom by bolo aj p' || p; my vsak vieme, że p' = q a p, q su mimobeżky. Priamka p nemóże byt ani róznobeżna s royinou n, pretoże by potom bud’ p' = p (v pripade kolmosti priam-ky p a roviny n), a teda p = q, bud’ by priamka p' pretinala priamku p, a ani to nie je możne, pretoże p' = q a p, q su mimobeżky. Druhy pripad preto vóbec nemóże nastat.

V prvom pripade, t. j. ak je p' = p a q' = q musi byt rovina n royinou sumernosti ako pre priamku p, tak aj pre priamku q. Su teda tieto możnosti:

(a)    Rovina jc obsahuje p aj q. To je yśak nemożne, lebo priamky pa, q neleżia v tejże rovine.

(b)    Rovina n je kolma na priamky p aj q. Ani to nie je możne, lebo by obidve priamky museli patrit do toho isteho smeru (veta 16).

(c)    Rovina n obsahuje p a je kolma na q.

(d)    Rovina n obsahuje q a je kolma na p.

Najpry sa presvedcte, że tymto su yycerpane yśetky możnosti. Ak ma priklad vóbee nejake rieśenie, budę to niektóry z pripadoy (c) a (d), pripadne obidva. Obratme sa teda na pripad (c). Ak ma byt rovina n kolma na q, musi każda jej priamka — a teda aj p — byt kolma na q. Ak su teda p a q l’ubovol’ne volene mimobeżky, nie je możny ani pripad (c). Roynako usudime, że ani pripad (d) nevedie k rieseniu. Ak je vsak vo zylaśtnom pripade p j_ <ł, możno splnit su-casne pożiadavky pripadu (c), ako aj (d). O tom ste sa presvedcili uż pri rieśeni cyicenia 9 ćl. II/1. Odpoyed’ teda znie:

Dve mimobeżky, które nie su kolme, nemaju nijaku rovinu sumernosti. Ak su na seba kolme, maju dve nayzajom kolme roviny sumernosti.

Cvicenie

1.    Dokażte: Obraz X' bodu X v sumernosti podia roviny n je vnutor-nym bodom polpriestoru opacneho k n X, alebo je I s I.'

2,    Je dany kvader ABCDA'B'C'D' v zakladnej polohe. Zobrazte vo vol’nej projekcii teleso s nim sumerne zdrużene podia roviny BGA'.

Zobrazte vo voInej projekcii pravidelny śtvorsten (t. j. śtvorsten, ktoreho vśetky hrany maju tu istu dlżku; voIte napr. AB = 4 cm). Nech M je stred brany AB, N stred brany GD.

Zobrazte royinu, która pretina teleso vo stvorci. Kolko je rieśeni? b) Zobrazte teleso sumerne zdrużene k śtvorstenu yzhladom na jed-nu z tychto royin.

4.    Kocka o hrane a = 5 cm v zakladnej polobe je pretata priamkou MN v dvoch bodocb lal. Bod M leżi na predlżeni hrany AB za bod B tak, że MB = 4 cm, bod N leżi na predlżeni hrany DD' za bod D’ tak, że D'N = 1 cm.

a)    Zobrazte body lal.

b)    Zobrazte usecku sumerne zdrużenu k hrane A'B' yzhladom na rovinu AXY.

5.    Je dana kocka ABODA'B'G'D' v zakladnej polohe a bod P na hrane AB taky, że AP = 2BP. Yo yolnej projekcii zobrazte utvar sumerne zdrużeny a) so styorcom BCC'B', b) s trojuholnikom BO’A' podia royiny GG'P.

6.    Urcte ysetky royiny sumernosti utvaru, który je zlożeny z royiny a priamky s nou róznobeżnej. Urobte diskusiu.

7.    Urcte ysetky royiny sumernosti dvoch rovnobeżnych priamok.

5. Zhodnosf v priestore

V planimetrii sme sa obśirne zaoberali pojmom zhodnosti dyoch utvarov. Yychadzali sme z axiómy zhodnosti, ktoru sme vyslovili y elanku 1 ako axiómu YIII, a to v rozsirenom tvare ako axiómuYIIIa. Pomocou nej sme ylastne definoyali zhodnost utvarov leźiacich y różnych royinach.

195