1954 Geometria 034

ćisla. Najskór vśak musime poyedat, eo budeme rozumie! pod vel-kostou usecky v pripade nezmeratelnych useciek, ćiże musime defino-vat vdkt st usecky sposobom, który móźemo poużit vo vsetkych pri-padoch. Toto urobime pomocou vIastnosti, które uż poznate; su to:

(1)    Yelkost usecky je kladne cislo.

(2)    Zhodne lisećky maju roynakć yelkost i.

(3)    Sućet dvoch useciek (graficky żostrojeny) ma za yelkost cislo, które je suctom vel’kosti oboch useciek.

Okrem toho vyslovxme es te zakładu u vetu, zvanu Archimedovu, ktoru sme uż skór poużivali pri merani useciek. Tato veta znie:

Ak nanasame na polpriamku AB postupne useeku GD, dostavame tak body 1\ P₂, P_s, ... ; po urcitom poetę krokov dójdeme k takemu bodu P_n, który leźi zvonku usecky AB.

Yeta Archimedova vyjadruje naśu każdodennu skusenosf ziskanu pri merani useciek. Zahrnuje vśak v sebe i różne pripacly, kędy sa ne-móżeme presvedcif o jej spravnosti. Predstavme si napr., że by sme chceli merat useeku, która je obmedzena stredom Zeme a Slnka, mili-metrovoU usećkou a vychadzali by sme pritom zo stredu Zeme. Yeta Archimedova A^Tyjadruje potom naśe presvedcenie, że by sme aj v tomto pripade po urcitom poetę krokov — i ked nesmierne ve!kom — pre-kroćili druhy krajny bod usecky.

Z vłastnosti (1), (2), (3) a z vety Archimedovej vyplyva jednoznacne postup, którym urcujeme yeTkost usecky. Mamę napr. urcif yelkost lisecky AB pri jednotkovej usecke CD, ktorou je nezmeratelna (pozri obr. 53). Zostrojime body P_l5 P₂, P₃, P_4> P₅, P₆ a bod B padnę medzi body P₅, P₆. Podia vlastnosti (3) yelkost usecky AB sa rovna suetu yelkosti usecky AP_h a usecky P_hB. Usecka AP_h ma podia (2) a (3) yelkost 5, yelkost usecky P₅B je podia (1) kladne cislo. Oznaćme yelkost usecky AB znakom AB; potom pre ńu piat!

AB > 5.

Obdobne odyodime, że AB < 6; je teda

5 < AB < 6.

Teraz zostrojime novu jednotkoyu useeku EF tym, że useeku CD rozdelime na 10 zhodnych dielov. Postupne nanaśame useeku EF na polpriamku AB a dostayame body Q_vQ_a,Q₃,... Zrejme je Q_i0 = P₅, -Q_e0 s P_g. Pretoże je usecka AB nezmeratelna usećkou CD, padnę bod B medzi niektóre dva susedne body Q; napr. na obr. 54 padol bod B medzi body Q₅₂, $₅₃. Usecky AQ_Sł, AQ₅₃ maju yelkost 5,2; 5,3. Ibeto piali pre Yelkost usecky AB:

5,2 < AB < 5,3.

fbalej rozdelime jednotkoyu useeku EF na 10 zhodnych dielov a pokra-cujeme rovnakym spóso-

bom a ko predtym. Tak dostaneme pre Yelkost usecky AB dvojice raeio-nalnych cisel, z których je jedno mensie a druhe yacśie neż AB a które sa CD lisi iba o jednotku posled-neho desatinneho miesta.

Dostaneme napr. tieto daiśie dvojiee:

+

^P2

^P3

Z

Obr. 53

B

^pS

Z

5,27    <    AB< 5,28,

5,270    <    AB< 5,271,

5,2704 < AB < 5,2705, 5,27046 < AB < 5,27047, ....................atd’.

Podia toho, ako ste sa ucili porovnavaf realne cisla v algebre, viete, że je jedine realne cislo, które spina vsetky vztahy: je to cislo, ktoreho desatinny rozvoj je 5,270 46... Je teda

AB = 5,27046 ...

Ak zvolime urcitu jednotkovu useeku, ma każda usecka za yelkost urćite kladne realne cislo racionalne alebo iracionalne. Możno dokazat, że yelkost useciek, t. j. cisla ziskane opisanym postupom skutocne vyhovuju podmienkam (1), (2), (3); toto vśak nebudeme dokazoyat, lebo na to potrebujeme hlbśie yedomosti o realnych cislach.

Poznamky. Ak chceme strućne napisat, że yelkost usecky AB, ak je jednotkovou useckou centimeter, je cislo 6, napiśeme AB — 6 cm. Symbol 6 cm nepoyażujeme za nejaky novy druh cisel — „pomeno-vane cisla“, ale za skrateny zapis.

Pri cisel nych vvpoctoch nahradzame yelkost usecky, która je vy-jadrena iracionalnym ćislom, sprayidla blizkym racionalnym cislom, ako ste sa ucili v algebre a ako yidime z nasledujuceho prikladu 2. Najma pri merani useciek v praxi dostaneme vżdy racionalne cislo; cim je meranie presnejsie, tym viac płatnych cislic ma toto racionalne cislo.

35