1954 Geometria 048

III. PODOBŃOST TROJUHOLNtKO Y

1. Pojem podobnosti trojulwlnikoY

V ulohach z praxe ćasto sa stretavame s rovinnymi utvarmi, które sa volaju podobne. Tak ak mamę napr. zostrojit plan vodorovnej casti terenu, zvoliine si najskór mierku, t. j. kladne realne ćislo mensie neż 1 (napr. 0,01); dalej zvolime v terene dva różne body A, Ha zmeriame ich vzdialenost. Na nakresni narysujeme useeku A'B' vel'kosti 0,01. AB; tato je obrazom iisecky AB. Ak mamę potom zostrojit obraz C' bodu C, który leżi mimo priamky AB, zmeriame vzdialenosti AC, BC a vypocitame suciny 0,01. AC, 0,01 .BG. Na nakresni zostro-jime potom trojuholnik A'B'C' so stranami A'C’ = 0,01 .AC, B'C' = = 0,01 .BC. Tento trojuholnik je obrazom trojuholnika ABC a obidva trojuholniky sa volaju podobne. Vyslovime definiciu:

Trojuholniky ABC, PQR su podobne, ak możno najst kladne cislo k . tak, aby platilo

(1) PQ = k.AB, QR = k.BC, RP^k.CA.

Tento vzfah zapisujeme /\ABC ~ Ą PQR (obr. 65). Vztah medzi obidvoma trojuholnikmi sa nazyva podobńost’; cislo k sa nazyva pomer podobnosti.

Poznamky. 1. Predov.śctkym je jasne, że vzfah podobnosti dvoch trojuholnikoy je vzajomny, lebo ak su strany druheho trojuholnika k-

-nasobky stran prveho, su strany prveho - nasobky stran druheho.

2.    Ak k = 1, su obidva trojuholniky zhodne; zhodnost je teda oso-bitnym pripadom podobnosti. Ak je k > 1, volame podobńost zvaćse-nfm, ak je Ic < 1, volame ju zmensenim.

3.    V zapise A ABC ~ A PQR, móżeme vrcholy prveho trojuholnika usporiadaf luboyolne; usporiadanie vrchołov druheho trojuholnika je potom urcene tym, że platia vztahy (1). Zapisujeme ich podobne ako pri zapise zhodnosti trouhołnikoy. Vrcholy, które maju rovnake poradie (napr. B, Q), budeme nazywał vrcholy k sebe prislusne. Podobne zaradzanie nazwy: uhly k sebe prislusne a strany k sebe prislusne. Su to dvojice ublov A, <£ P; <£ B, <£ Q; <£ C, <£ R a dvojice useciek AB, PQ\ BG,QR\ GA,RP.

4. Znak podobnosti ~ je leżate S; je to zaciatocne pismeno latin-skeho sloya similis (podobny).

Priklad 1. 0 stranach trojuholnikov TUV, KLM platia vztahy: (2)    U T = 3 LK,    TV = 3 LM,    UV = 3 MK.

Naertnite obrazok a zapis te, że obidva trojuholniky su podobne.

Rieśenie. Ak zapiśeme prvy trojuholnik A TUV, budu v zapise druheho trojuholnika podia prvej roynice (2) body LK na prvych dvoch miestach, bod M na tretom. Podia druhej rovnice (2) budę na prvom mieste bod L. Dostaneme teda zapis A TUV A LKM, który suhlasi s tretou rovnicou (2). Obrazok nacrtneme podia tohto zapisu.

Poznamka. Sprawne poradie vrcholov pri zapise podobnosti trojuholnikov potrebujeme, aby sme poznali vrcholy a uhly k sebe prislusne. Vyznam toho sa ukaże dalej.

Priklad 2. Każde dva rovnostranne trojuholniky su podobne. Do-każte to.

Rieśenie. Oznacme ABC, A'B'C' IubovoIne dva rovnostranne

49