1954 Geometria 050

trojuholniky, h pomm’ stran

A'B'

AB

bo A'B' = k. AB, B'C = lc.BC,

Potom je aj —— C'A' = k.CA.

CA'

CA

/c,ale-

Priklad 3.Nech plati o dvoch trój uholni koch, że j\ABGr^ [\ A'B'G'. Oznaćme yelkosti ich stran .obvyklym sposobom: a = BG, b = CA, c = AB, a’ = B'C, b' = C'A’, c' = A'B'. Napiśte vzfiahy, które platia medzi tymito siestimi cislami.

Rieśenie.	Podia	predpokladu je «' =		ka, b' =	kb, c
plati:
(3)			a' V
			a b	c
a aj
(D	a'	Cl	V b	ć	c
	J^7 =	JT^;	c’ c ’	a'	a

Naopak: Ak platia rovnosti (3) alebo rovnosti (4), su obidva trojuholmky podobne. Rovnosti (3) su totiż ibainym zapisom (oznacenim) definicie podobnych trojuholnlkov. O tom, że rovnosti (4) zarucuju podobnost trojuholnikov, presvedcime sa v nasledujucom prlltlade. Pritom postacią iba dve z rovnosti (4), pretoże tretia rovnost z nich vyplyva.

Priklad 4. Medzi vel'kost’ami stran p,q,r a x, y, z dvoch trojuhol-nikov platia Yzfahy ¹

p Z	J7 =	X
q x^?	r	™ y‘

Dokażte, że trojuholniky su podobne.

2

Rieśenie. 'Oznaćme k = —; potom je k kladne cisloaplatiz = k.p.

Po dosadeni za z do prvej rovnice (5) a po krateni cislom p dostaneme x = k.q. Po dosadeni za x do druhej rornice (o) a po krateni cislom q dostaneme y — k.r. Obidva trojuholniky su teda podobne; dvojice k sebe prishiśnych stran su

P, z; q, x; r, y.

Priklad 5. Cisla a, b, c su Yelkosti stran claneho trojuholnika. Dokażte, że z useciek yelkosti ka, kb, kc, kde k je Iubovol’ne kladne cislo, możno zostrojit trojuholnik.

Bielenie. Pretoze z useeiek yelkosti a, b, c możno zostrojif troj-uliolnik, plati    .* *

| a — 6 | < c < a + 6.

Obidve tieto nerovnosti nasobime kladnym cislom k; dostaneme h\a — 6 | < A‘c < k (a + b),

eiżo

| ka — kb j < kc < lca -(- kb.

Tieto nerovnosti yyjadruju, że z useeiek yelkosti ka, kb, kc możno zostrojit trojuholnik, co sme chceli dokazat.

Tuto ylastnost sme mlcky poużili na zaćiatku tohto elanku, kecl’ sme na piane zostrojoyali obraz C' bodu C.

Cvicenie

1.    Dokażte, że każdy trojuholnik podobny prayouhlemu trojuholniku rovnoramennemu je pravouhly rovnoramenny trojuholnik.

2.    Je dany A ABC so stranami a — 4,8 cm, 6 = 6 cm, c = 7,2 cm. ZvoIte u sec ku A'B' o vel’kosti 64 mm a zostrojte trojuholnik A A'B'C' ~ A ABC.

3- A₁,B₁,C_i su stredj⁷ stran BC, CA, AB trojuholnika ABC. Dokażte, że plati A ABC ~ A A_lB₁C₁.

4. Je dany trojuholnik ABC.

Predpokladajme, że możno zostrojit A A₁B_lC\. ktoreho strany su yyśky A ABC, a A A₂B₂C₂, ktoreho strany su vyśky A A₂B_XC_V Potom je A A₂B₂C₂ ~ A ABC. Dokażte to.

Nayod: Vyjadrite yelkosti vyśok pomocou obsahu trojuholnika. fi. Plati A ABC ~ Ą KLM. Je dane AB = 1,KL = 3, AC = 2]/3, LM — 4. Vypoćitajtevel’kcsti stran BC, KM a narysuj te obidva trojuholniky.

6. Plati A A₁B_XC₁ ~ A A₂B₂C₂. Dane su yelkosti stran a₁, 6_X trojuholnika A₁B₁C₁ a yelkosti stran a₂, c₂ trojuholnika A₂B₂C₂. Vyjadrit,e yelkosti c_x, 6₂. Ako musime volit ćisla a_v b_x, a₂, c₂, aby sme mohli zostrojit trojuholniky?

2. Yeta uu o podobnosti trojuholnikoy

Podobnost trojuholnikoy ma dóleżitu ylastnost, ktoru volame tran-zitiynostou (sloyensky — prechodnost). Yyjadruje ju

51