1954 Geometria 106

Cvicenie

1.    Prayouhly trojuholnik, ktoreho odyesny maju yelkosf 1, ~Jn (kde ^ je IubovoIne kladne ćislo), ma preponu dlźky |/w J 1. Odóvod-nite toto tvrdenie a poużite ho na zostrojenie useciek yelkosti

VźW'W

2.    ZvoIte jednotkovu usećku (asi decimeter) a zostrojte usećku

i (]/5 — 1).

3.    Rovnoramenny trojuholnik ma rameno 6 = 5 cm, sucet zakladne a yyśky na zakladnu je a -j- v = 10'cm.

a)    Zostrojte ho na zaklade yypoćtu.

b)    Rieste ulohu bez ćiselnych udajov.

4.    Ak je a, 6 vel’kos£ danych useciek, zostrojime usećku yelkosti

ab

y—₂    najpohodlnejśie ako vvsku prayouhleho trojuholnika

o odvesnach a, b. Dokażte to.

5. Yyska kosośtvorca ma polovićnu dlżku vaćsej uhlopriećky. Vy-poćitajte uhly takehoto kosostyorea a zostrojte ho.

Obr. 124

6.    Obr. 123.BodAleźizvon-ku danej krużnice h, T je bod dotyku dotyćnice, ve-denej z bodu A ku krużnici k, R je ten priesećik priam-ky AS s krużnicou k, kto-

h ry neleżi medzi bodmi A, S. Urćte bod A tak, aby platilo Ali = 2 AT. Ćo yyplnia yśetky body A tejto ylastnosti i

7.    Na obr. 124 maju obidve ramena kriźa tu istu śirku x. Vyćiarkovana płocha ma polovićny obsah vzhla-

dom na obdlźnik. Vyjadrite sirku x pomocou rozmeroy a, b daneho obdlźnika a zostrojte tento utvar.

8. Je dana usećka jednotkovej dlźky a usećka yelkosti a< 1. Zo-

1 —a

1 +a

. Navod: Yyjdite zo yzfahu 6(1 -f a) =

strój te usećku b = = (1-a).1.

9. Bod D leżi vo vnutri strany BG trojuholnika ABC tak, że BD — = 2 CD. Urcte bod E vo vnutri strany AB tak, aby obsah AEBD boi pokmcou obsahu f\ABO. Navod: Dokażte, że musi platit BC.AB = 2BE.BD.

10. a) Ak je uhol pri vrcbole C trojuholnika ABC ostry, je a² -f b² >c². Dokażte to. Możno tuto vetu obratif?

b) Na zaklade vysledku cvićenia 10a) aprlkladu 2, str.99rozhodnite, ci trojuholniky s danymi stranami su ostrouhle, pravouhle alebo tupouhle.

4; 5; 6; — 4,1; 5,2; 6,8 — 15; 2,75; 15~.

t:

11. Dokażte, że hodnoty goniometrickych funkcii toho isteho uhla tx splnaju Yzfahy:

1

a) cos² « + sin² « = 1, b) cos cc = _n■

j 1 -f tg² a

12. Obr. 125. Bod' A leżi zvonku krużnice k = (8; r), P, Q su priese-ciky priamky AS s krużnicou k, T je bod dotyku dotycnice, vede-nej z bodu A ku krużnici k.

Dokażte, że plati

AT² = AS² — r² = AP.AQ.

107