1954 Geometria 276

p # O, pretoże p je limit rastucej postupnosti kladnych cisel, także p > 0. Pretoże podiel limitoy roYna sa limitu podielu, możno pisat

lim Qn

rtr-yco P

n

Ale

Qn

COS

,2R ’ n

ako vyplyva zo vzfahu (1) na predchadzajucej strane. Teda

P

lim

rir->00

cos-⁵

,2R '

n

2R

n

Ak n neobmedzene zvacsujeme, — ma ako limit nulu, także

2Jł

cos — ma ako limit 1. Preto je aj

lim _i_

COS*

n-*GO    „ 2 R

n także a z toho

q = p.

Podia poznamky 1 k definicii obsahu obrazca je obsah kruhu P vacsi neż obsah ktorehokolVek mnohouholnika Ypisaneho do prisluś-nej krużnice a menśi neż obsah ktorehokol’vek mnohouholnika opi-saneho tejto krużnici, t. j. plati

P % Q_n■    (2)

Limitovanim nerovnosti (2) dostaneme

lim P_n < lim P < lim Q_n.

n->cO    »-^oo    n->00

lim P = P,

Pretoże

n-->co

lim P_n^P ^ lim , »-»00    n->ao

ciże    p P q.

A pretoże p = q, aj P = p = q.

Obsah P kruhu o polomere r możno yyjadrit takto:

(n.si

Pritom spoloćny limit

(w.si

P = r².lim

n—> 00

2R sin— cos n

—) = r² . lim (w.tg —Y w /    n->00 \    » /

lim

n-» co

2P 2P\

sm—cos — I » »/

(n.tg —)

je konstanta. Tuto konśtantu oznacujeme obycajne plsmenom n. Vzorec pre yypocet kruhu ma teda tvar

P — n. r².

Cisło Ti yyjadrene s presnostou na 10 desatinnyeh miest je 7i'= 3,1415926535...

Pre prakticke pocitanie staći pribliżne yyjadrenie

ti= 3,14

alebo

71 :

22

Pre presnejsie yypocty móżeme poużif

Ti d= 3,1416.

Poznamka. V dokaże sme poużili postupnosti obsahov pravidolny ch mnohouholnikoy ypisanych a opisanych prisluśnej krużnici, które sme dostali postupnym zdvojnasobovanim poctu stran IubovoI-ne zvoleneho n-uholnika. Możno vśak dokazat, że prideme k rovnakemu yysledku aj ytedy, ked’ poćet stran uyedenych mnohouholmkoy zvac-

277