1954 Geometria 266

Pretoze tg 30° =i-. ^3",

ó

2ę

3

a₆ = ~. yi.

Strana a₆ pravidelneho sesfuholnika opisaneho krużnici o polomere q sa podia tohto vzorca rovna vyśke rovnostranneho trojuholnika 4

o strane— q (obr. 22). Totiż ó

TJloha 3. Urćte obsah pravidelneho n-uholnika, ak je dany polo mer r opisanej kruźnice.

Rieśenie. Trojuholniky tvoriace rozkład daneho pravidelneho

n-uholnika su rovnoramenne. Pre obsah p_x każdeho z nich plati (obr. 19).

2>i=4 °»-^0i>*

2 B

Ale podia (1) a_n=2r.sin— aokrem 2 E

toho OP = r.cos—.

n

Je teda

, . 2 R    2 R

p_x = rtin — cos -

n

n

Obsah p celeho n-uholnika

p = n.p,

cize

_% . 2R    2R

p = nr² sm -— cos —.

n n

(3)

Uloha 4. Urcte obsah pravidelneho ra-uholnika, ak je dany polo-mer q ypisanej kruźnice.

Rieśenie. Vypocet je taky isty ako v predoślej ulohe. Dany n-uholnik rozlożime na trojuholniky; obsah p każdeho z nich je (obr. 21)

1

P = ~2 ^an Q-

Ale podTa (2) a„

_2R

2gtg —, także po dosadeni dostaneme

P = <?^2tg

2 R

n

Obsah p daneho n-uholnika je

V • V

cize

(4)

p = n.P a, ₂, 2R

p = n_Q*. tg —.

Cvicenie

1.    Zostrojte (vypoctom aj korśtrukciou) a) śtvorec, b) pravidelny śesf-uholnik vpisany do danej kruźnice.

2.    Ked pocet stran pravidelneho n-uholnika vpisaneho do kruźnice neobmedzene rastie, zmenśuje sa ve!kost jeho strany a bliżi sa k nule, t. j.

lima_n = 0.

n-yco

Dokażte to.

3.    Zostrojte (vypoctom aj konśtrukciou) a) rovnostranny trojuholnik, b) śtvorec opisany krużnici.

4:1 Ked pocet stran pravidelneho w-uholnika opisaneho krużnici neobmedzene rastie, zmenśuje sa aj yelkost jeho strany a bliżi sa k nule, t. j.

lima_ = 0.

«->oo

Dokażte to.

5.    Dokażte, że obsah pravidelneho śesfuholnika vpisaneho do danej kruźnice rovna sa — obsahu pravidelneho śestuholnika opisaneho tej to krużnici.

6.    Od daneho śtvorca oddeTte śtyri trojuholniky tak, aby vznikol pravidelny osemuholnik (vypoctom aj konśtrukciou). ' ‘

267