1954 Geometria 288

Uplnou il^dukciou 1'ahko dokażeme. że

Z posledneho vzfabu vyplyva, że postupnosf (2) je klesajuca nulova postupnost, t. j., że

lim Q_n — 0.    (3)

n->-00

2. Ak pre każdy polomer g_l5 g₂,..., g_n,... zostrojime opisanym sposobom obrazec na obr. 46 (na obr. 46 sń prisluśne obrazce zostrojene pre q_x, o*,, g₃, Q_t, q_s), obsahy tychto obrazcov tvoria postupnosf.

Jej n-ty clen je

P P P P

* et’ et> ^Ł e*’' * • ’ en’ • • •

(4)

^ptn = ²2» -^AB + ⁿQn^l-

Obr. 46

3. Ak każdeho clena tejto postupnosti delime dvojnasobkom prisluś-neho polcmeiu, dostaneme z postupnosti (4) postupnosf

Q*

2 Ui    2q₃    2q₃    2

której cleny suhlasne s predoślym oznaćime

(5)

^ei > de« » ^es    ^en > • * • ■

w-ty clen tejto postupnosti je

P

-f- — {?»■

d =

* 2Qn

4. Postupnosf (5) ma limit AB.

Skutocne,

lim d. = lim {AB + ~ g_n) = lim AB -j- ^ lim g_n.

oo ^B n->oo    2    »-»co

Ale

lim AB — AB

w->co

a (ako vyplyva z [2])

Teda

£L lim p_n = 0. 2n-+oo

lim d p_n — AB.

W~>00

Pretoże limit postupnosti (5) rovna sa ve!kosti usecky AB. naopak -eelkost (dlżku) usecky AB możno definovaf ako limit postupnosti (5). Vyznam tohto sposobu zavedenia dlżky, który je pre usecku zbytocne zlożity, vazi v tom, że ju możno poużif aj vtedy, ked namiesto z usecky vycliadza-me z krużnice alebo z jej obluka.

Zvolime polomer q > 0, zostrojime kruhy o polome-re q, które maju stredy v bo-

doch daneho obluka. Tieto    Obr. 47

kruhy urćia obrazec (obr.

1    Obr. 48

47), ktoreho obsah oznaći-me P

p

Podiel —- oznacime d_a.

2 Q

Namiesto jednehopolome-ru q vezmeme potom postup-nost (2) polomerov

£?1> &>•••* > • • ■

tak, aby każdy nasledujuci polomer boi pokmcou pred-chadzajuceho (obr. 45):

Qn ⁼ ~2 Gn-l’

Ak pre każdy polomer zostrojime prisluśny obrazec (obr. 48), obsahy tychto obrazcov teoria postupnosf (4).

Ak każdeho cle na postupnosti (4) delime dvojnasobkom prisluśneho polomeru, dostaneme postupnosf (5), której limit możno povażovaf za dlżku obluka.

Postupnosf (5), której każdy clen je pribliżnym yyjadrenim dlżky

289