1954 Geometria 336

priradene niektórym zakladnym telesam a ukażeme, że uvedene trrdenie pre ne vżdy plati.

Treba pripomenut a móżeme dokazaf, że limit¹ nezayisi ani od naśej śpecialnej vo!by postupnosti ę₀. o₁, ... Ked’ je dana IubovoIna klesajuca postupnosf kladnych cisel

^5 Sl5    « • •>

której limit je nula, potom postupnosf prisluchajucich cisel

P P P * ei>> * ei' ■ ■ ■’ ^x e_n’ ■ ■ •

ma rovnaky limit ako priradena postupnosf.

Poznamka 2. Ked’ oznacime P povrch telesa T, potom uvedenu definiciu móżeme yyjadrif yzorcom

P = lim P,

łl->00

2ⁿ

«»’ ⁶ⁿ ^ eo-

Poznamka 3. Namiesto ,,vel’kosf povrehu“ budeme — ako to aj obycajne robime — hovorif strucne porrch telesa.

Postup, którym sme dospeli k definicii vel’kosti povrchu telesa móżeme prirodzene bezo zmeny poużif aj vtedy, ked T je len casfou povrchu telesa. Pripusfme teda, że T je bud rovinny obrazeo, bud je casfou zakrivenej płochy (napr. piast kużela, zrezaneho kużela alebo valca, guł’ova płocha, gul’ovy vrchlik a guloyy pas).

K pojmu obsah zavedenemu śpecialne pre rovinne obrazce (pozri str. 270) pribudol novy pojem: vel’kosf poyrchu rovinneho obrazca. Vzfah medzi oboma pojmami yyjadruje dóleżita veta:

Veta 1. Ak je T rovinny obrazec, potom vel’kost jeho povrehu (t. j.-limit postupnosti priradenej obrazcu T) rovna sa prave jeho obsahu.

Tuto vetu nebudeme dokazoyat. Jej platnosf si vsak overime aspoii na jednoduchom priklade; sucasne si na nom objasnime konstrukeiu telies Tę a priradenej postupnosti.

Poznamka. VzhIadom na tvrdenie vety 1 poużijeme casto aj pre vel’kost povrchu casti zakrivenej płochy len nazov obsah. Tak napr. hovorime namiesto o yelkosti povrchu yrchlika o obsahu vrchlika. Podobne namiesto ve!kosf plaśfa kużela hovorime jednoducho obsah plaśfa kużela atd’.

Priklad 1. Urcte vel’kosf povrchu obdlżnika o stranach a, b.

Riesenie. ZvoIme Iubovol’ne. g > 0. TelesoTg (naobr. 81 je zobra-zeny jeho pravouhly priemet do roviny daneho obdlżnika a jeho rez zvislou rovinou) móżeme zloźit’ z kvadra o rozmeroch a, b, 2g (na obr. 81 je oznaceny 1), z rotacneho valca o polomere g, o vyśke a (je zlożeny z casti 2), z rotacneho

Na urcenie ve!kosti povrchu tełies budeme vel’mi yyhodne pouż ivaf vetu, ktoru uvedieme bez dókazu:

*) n-ty clen priradenej postupnosti totiż dostaneme, ked' do (4) dosadime za o polomer

= ^ Qo, teda P_Qn = ab + j n -g (a + 6) + n |&.

Ked’że

lim JL = 0, lim _L _ o

»->oo 2ⁿ    n-yooż²” ’

je

lim P, — ab.

^oo °ⁿ

Z toho vyplyva: limit priradenej postupnosti najdeme, ked v (1) polożime g = 0.

337