1954 Geometria 344

Riesenie. Z definicie gul’oveho pasa vidno, że existuju prave dva vrchliky, które tvoria społu s danym guloyym pasom tri navzajom sa neprenikajuce casti gul'ovej płochy o polomere r. Oznacme vysku gu!oveho pasa v a vysku uvedenych vrchlikov i\ a v_%\ pre obsah gu-Ioveho pasa potom najdeme

4jir² —    — 2    — 2ixrv_i = 2nr{2r — v_x — v₂) = 2nrv.

Cvicenie

1.    Ako sa zmenł povrch gule, ked’ jej polomer r nasobime cislom k

>0)?

2. ' Ako treba zmenit polomer r gule, aby sa jej povrch a) zvacsił

śtyrikrat, b) zmenśil na polovicu.

3.    a) Priemer Marsa rovna sa (pribliżne) polovici priemeru Zeme.

Kolkokrat je jeho povrch a objem mens! neż povrch a objem Zeme?

b) Priemer Jupitera je (pribliżne) jedenasfnasobok priemeru Zeme. Kolkokrat je jeho povrch a objem vacśi neż povrch a objem Zeme?

4.    Urcte medze povrchu gule, ked’ jej polomer sme zistili mer ani m_ pri ktorom sa pripusta chyba rovna e-nasobku me ranej usecky, a to a) presne, b) pribliżne (tak, że zanedbate ćleny obsahujuce e v druhej mocnine).

Ciselne: r = 10 cm, s — 2.10~^sr.

5.    Polomer gule zvacśime o e. Ako sa zvacsi jej povrch ? Aky je pribliżne prirastok, ak zanedbame (ked’ s je vzhl’adom na polomer pomerne małe) ćlen, v ktorom sa yyskytuje e² ?

Ciselne: r = 10, e — 0,001_t

Urcte povrch a objem gule, ktoru możno ^ opisat b) vpisat do rotacneho kużela o polomere podstavy r a ovyśke v.

7.    Do pravidelneho śtvorstena o hrane a je ypisana gul’a: urcte jej povrch.

8.    Rovnostranny valec a rovnostranny kużel’ su ypisane do gule o polomere r. Ukażte, że a) povrch vałca je stredna geometricka umerna povrchov gule a kużela, b) objem valca je stredna geometricka umerna objemov gule a kużela.

9.    Rovina rozdeluje povrch gulevpomere a : b (a, b su kladne ćisla). Urcte pomer objemov oboch vzniknutych gu!ovych cdsekor. Ciselne: a = 1; b = 2.

10.    Urcte povrch guloyeho odseku priamo podia definicie 1 cl. 1.

11.    Urcte obsah guloyeho pasa priamo podia definicie 1 cl. 1.

12.    Urcte povrch guloyeho odseku, ktoreho yyśka rovna sa n-tine polomeru r gule.

13.    Urcte objem guloyeho odseku, ktoreho yyśka je v, ked' viete, że obsah prislusneho vrchlika je p (p > nv², preco?).

Ciselne: p = 100 cm², v = 5 cm.

14.    Urcte povrch a objem guloyeho prsteńa, który vznikne z gule o polomere r, ked’ do nej vyvrtame otvor tvaru rotaeneho valca o polomere o (o < r), ktoreho os prechadza stredom gule.

Ciselne: r = 10 cm, q = 2,5 cm.

15.    V guli o polomere r je vyvrtany otvor tvaru rotaeneho valca, ktoreho os prechadza stredom gule. Urcte povrch a objem rozvinuteho gul’oveho prstenca, ak jeho vyśka jo v (v <_ 2r).

Ciselne: r — 15 cm, v = 15 cm.

16.    Pomer vah dvoch gul je a_x : a₂ (a_x, a₂ su kladne cisla); spec. vahy materialov, z których su zhotovene, su v pomere m : n (m, n su kladne cisla). Urcte pomer a) priemerov, b) povrchov obidvoch gul’.

Ciselne: a_x — 8; a₂ — 17; m — 289; n — 54.

17.    Kolko metrov balónoveho hodvabu śirky 0,5 m treba na zhoto-venie balóna tvaru gule, ak je jeho priemer 6 m; na svy a odstriżky pocitajte 12,5%.

18.    Aky velky je povrch Zeme, który vidno z vyśky v nad zemskym povrchom, ked’povażujeme zemeguluza guluo polomere r = 6378 km.

Ciselne: v = 5 km.

Gula o polomere >\ je osvetlena svietiacou gulou o polomere r₂. Vzdialenosf stredoy oboch gul’ je d(d > r_x -f- r₂). Urcte, aka casfi prvej' gule je osvetlena.

Ciselne: a) r_x = 15 cm, r₂ = 30cm, d = 90 cm; b) ako gule berte Zem a Slnko; polomer Slnka rovna sa 100 polomerov Zeme,. Yzdialenosi Slnka od Zeme rovna sa 23 500 polomerov Zeme.

4. Povrch a piast rotaeneho valca a kużela

Najpry urcime yelkosf piasta; v suhlase s predoslym budeme aj tu namiesto vel’kost piasta (rotaeneho valca) hovorit obsah piasta alebo len piast.

345