1954 Geometria 334

IV. POYRCHY TELIES

1. Definicia yelkosti poyrchu

S pojmom povrch telesa oboznamili sme sa uż v niżśich triedach, a to pri kvadri a pri kocke. Vel’kost poyrchu tychto telies definovali sme jednoducho ako sucet obsahoy ich stien.

Tato definicia yyhovuje pre ysetky telesa, których povrch sa składa len z rovinnych obrazcoy. Napr. yelkosf poyrchu ihlana może mc defi-novaf ako sucet obsahoy jeho podstayy a boenych stien.

Inac je to s telesami, których povrch sa nesklada len z rovinnych obrazcoy. Tu uż nemóżeme hoyorit o vel’kosti poyrchu v tom zmyśle ako horę, pretoże sme doteraz nikde nedefinovali yelkosf obrazca, który nie je rovinny.

Takto by sme nemohli pokracovaf napr. uż ani v pripade takeho jednoducheho telesa, ako je kużel, pretoże by sme museli najprv urcit, ćo rozumieme pod pojmom obsah piasta, t. j. museli by sme definoyafi, ako możno porovnat piast kużeła s rovinnou jednotkou obsahu. S podobnymi fażkostami by sme sa stretli aj v pripade valca a gule.

No tymto tażkostiam możno sa yyhnut. Ukażeme si jednu metódu pribliżneho (a pre prakticke ucely casto celkom vyhovujuceho) ur-cenia yelkosti poyrchu daneho telesa.

Zhotovime si, pokial’ możno, jeho presny model, napr. z tenkeho plechu, staniolu, papiera a pod. (pripadne pokryjeme dane teleso gal-yanickou cestou tenkou vrstvou yhodneho kovu, napr. chromu). Takto ziskany model odvażime (v pripade pokovovania zistime len vahu koyovej vrstvy); jeho vaha priamo zavisi od spec. vahy poużiteho materiału (pleehu, staniolu, papiera, kovu poużiteho na pokovovanie), jednak od hrubky vrstvy materiału na zostrojenom modele (resp. vrstvy naneseneho kovu), ale aj, co je pre nas podstatne, od yelkosti poyrchu daneho telesa.

Ked’ zistenu vahu delime hustotou poużiteho materiału, urcime tym ylastne objem pomocneho modelu (resp. yrstvy naneseneho kovu). A ked eśte delime tento objem hrubkou poużiteho materiału (resp. yyskou vrstvy kovu), urcime velmi pribliżne yelkost poyrchu daneho telesa. Vidno, że tento spósob zistovania poyrchu je tym presnejśi, cim tensia budę yrstya poużiteho materiału.

3B4

Zakladnu myslienku opisanej pribliżnej metody yypoctu vel'kosti poyrchu telesa, t. j. zostrojenie pomocneho telesa (modelu, yrstyy), które sa pribliżuje povrehu daneho telesa, poużijeme prave na to, aby sme podali definiciu geometricky vyhovujucu yelkosti poyrchu daneho telesa. Dóleżite je uvedomii si, że yelkosf poyrchu bola pribłiżne dana podielom objemu pomocneho telesa a jeho ,,hrubky“ a dalej, że vy-sledok boi tym presnejsi, ćim bola vrstva tensia.

TJyażujme teraz geometricky presne. Najprv si opisme konstrukciu pomocneho telesa k danemu telesu T. Zvolime si 1’uboyol’ne kladne cislo q a zostrojime vsetky możne gule, które maju polomer o a stred v bo-doch poyrchu płochy T; suhrn ynutornych hranicnych bodov vset-kych takto zostrojenych gul' tvori praye pomocne teleso, które nazve-

T

meT_{. Jeho objem oznacime V_e a podiel ^e- oznacime P_e (v porov-

nani s uż uvedenou praktickou metódou je 2o ,,hrubka“ zostrojeneho telesa T_e a teda P_e je akymsi hrubym odhadom yelkosti jeho poyrchu). Tym je priradene każdemu kladnemu cislu q urcite pomocne teleso T_e, a teda aj urcite cislo P_e.

ZyoTme si teraz zasa l'ubovol’ny, ale pevny polomer o_Q, a zostrojme postupne telesa T_e a cisla P_g prisluchajuce polomerom, które dosta-neme z «₀ postupnym rozpoloyanim. (Touto konśtrukciou dosiahneme tesnejśie primknutie sa pomocnych telies k poyrchu daneho telesa.) Inac poyedane ku klesajucej postupnosti polomeroy

_ i    _ 1    1

Qi —~2 6o>    62 — £ @0’    Qn — gn • • •

(której limit je nula) najdeme postupnost cisel P P P P-

e»’ ^x ei> w’ • • •’ en.’ • •

kvóli strucnosti ju nazyeme postupnost priradena k telesu T (a zvo-lenemu q₀).

A teraz uż móżeme definoyat vel’kost poyrchu telesa.

Definicia 1 (yelkosti poyrchu telesa). Pod yclkostou poyrchu telesa rozumieme limit postupnosti priradenej danemu telesu.

Poznamka 1. V definicii sa hovori o limite postupnosti. Ako yie-me, postupnosti cisel móżu, ale nemusia mat limit. Pre zakladne telesa (a telesa zostrojene podia cl. 1 predoślej kapitoly) limit priradenej postupnosti existuje yżdy, je kladny a jej yelkosf nezayisi od vol’by zaciatoćneho polomeru g₀. Nebudeme sa zaoberaf v pinom rozsahu dókazom tohto tyrdenia; v dalsom yytyorime postupnosti

335