1954 Geometria 226

vyplyva

4il

A[V

v A^A₂

V ~ A[AJ

A^A₂

aIU

Spojenńn oboch vysledkov dostaneme

lc, co sme chceli dokazat’.

Cvicenie

1.    Ake spolocne utvary ma,

a)    vrcholova rovina a ihlanoyy pr i es tor;

b)    nevrcholova priamka a ihlanoyy priestor (ihlanova płocha);

c)    vrcholova priamka a ihlan (povrch ihlana);

d)    nevrcholova priamka a ihlan (povrch ihlana);

e)    vrcholova rovina a ihlan (povrch ihlana);

f)    nevrcholova royina róznobeżna so vsetkymi priamkami ihlano-veho priestoru a ihlan (povrch ihlana) ?

2.    Urcte vsetky roviny sumernosti ihlanoveho priestoru, ktoreho riadiaci śtvoruholnik je śtvorec o strede 8 v rovine q a pre który plati l '(S' _j_ p.

3.    Narysuj te obrazok obdobny obr. 81 v pripade, że rovina q jj a a bod F leżi medzi B₁ a (J_v

4.    Zobrazte ihlan, ktoreho podstava je obdlźnik ABGD o strede 8 a ktoreho vrchol leżi na kolmici vedenej bodom 8 na rovinu ABOD. Na predlżeni hrany BC za bod B zvoI'te bod M a v jednej tretine usecky SF od-bodu 8 zvol’te bod N. Urcte obrazy priesecikoy priamky MN s povrchom ihlana.

5.    Zobrazte śtvorsten VABC a vytvorte ihlanovu plochu s yrcholom Fas riadiacim trojuholnikom ABC. Na priamkach AB, BC, CA zvol’te po poriadku body C', A', B'; bodom F a dvoma z l)odov A B', C' je urcena vrcholova rovina a> danej ihlanovej płochy. Body A', B', C vol’te postupne tak, aby ste obdrźali vśetky śtyri możne vzajomne polohy vrcholovej royiny co a ihlanovej płochy. Presku-majte priesecnice roviny co so vsetkymi styrmi royinami śtvorstena.

1. V prayidelnom stvorbokom zrezanom ihlane su dane podstavne hrany a = 20, a’ = 8 a yyska telesa v ~ 17 (t. j. yzdialenost royin obidvoch podstay). Urcte a) vel’kost bocnej hrany, b) yelkost tele-sovej uhlopriećky, c) yzdialenost priesećika F predlżenych bocnych hran od rovin obidvoch podstay.

7l V pravidelnom śtvorbokom ihlane je « odchyłka pobocnych hran od roviny podstayy. Aka je odchyłka [i stien od podstayy ? Ake musi byt «, aby bolo /3 = 45° ?

8. Pravidelny trojboky ihlan ma za bocne steny pravouhle trojuholni-ky. Aka je jeho vyśka, ak je a dlżkabocnej hrany? Akyuholurcuju bocne hrany s podstavou? Aka je odchyłka pobocnych stien; pobocnej steny a podstayy?

A V pravidelnom styorstene urcte fij odchylku bocnej hrany a podstayy;

b)    odchylku dvoch stien;

c)    dokażte, że mimobeżne hrany su na seba kolnie; cÓ yypoćitajte yyśku telesa pomocou dlżky hrany a;

e)    pomocou a urcte dlżku usećky, która spaja stredy mimobeźnych hran;

f)    udajte roviny sumernosti telesa a dokażte, że prechadzaju jednym bodom T;

g)    dokażte, że bod T rozpoluje usecku, o której sa hovori v cvićeni e), a dęli vyśku telesa v pomere 1 : 3.

10.    Nech royina q je rovnobeżna s dvoma mimobeżnymi hranami stvorstena. Ak obsahuje vnutorny bod niektórej zo zyyśnych hran, pretina śtyorsten v roynobeżniku. Dokażte to.

11.    Je dany pravidelny śestboky hranol ABGDEFA'B’C'D'E'F', ktoreho stena ABB'A' je rovnobeżna s nakresńou. Yo vnutri boc-nych hran zvol’te body A_1; B_v C\, T\, E_v F₁ tak, aby A 'A₁ = 0'G₁ =

— E'E_X — BB_X = UD₁ — FF_X =    AA'. Vo vol’nej projekcii

zobrazte teleso, które je spolocnym utvarom hranola a dvoch ihlanoyy ch priestoroy, z których jeden ma riadiaci trojuholnik A_XG₁E₁ a vrchol v strede podstayy A'B'.. .F' hranola, druhy ma riadiaci trojuholnik B₁D_xF_l a vrchol v strede druhej podstayy hranola. {AA' vol’te dost vel’ke.) V podobnom tvare krystalizuje minerał amfibol.

12.    Ukażte, że ihlan, zrezany ihlan i telesa z cvicenia 13 a 14 vyhovuju Eulerovmu yztahu (cyicenie 14, clanok 11).

13.    Pri ihlane z cvicenia 8 yypoćitajte odchylky y, d pobocnych stien, zistite hranice pre y, 6 a urcte « tak, aby steny boli roynostranne trojuholniky.

4. Valcov<i a kużel’ova płocha. Kruhovy valec a kużel’

Definicia (obr. 83). V rovine q je dana krużnica k a smer p rózno-beżny s rovinou q. Mnożina priamok z p, które pretinaju o v bodoch kruhu k, yyplńuje yalcoyy priestor. Priamky valcoveho priestoru, które pretinaju krużnicu k, yyplńuju yalcoyu plochu.

227