1954 Geometria 274

Tym sme dokazali, ze postupnost obsahov

Qn- Qin- Qin> Q8n’ Ql6n> Qn‘i^C ■ ■ •

je klesajuca.

2. Postupnosf obsahov pravidelnych mnohouholnikov vpisanych do krużnice je zhora ohranićena, t. j. existuje ćislo vaćśie neż vśetky ćieny tejto postupnosti.

Pre każde n ^ 3 je totiż

Pn < Qn,

pretoże plati

2 R    2 R    . 2 R    2 R

nr* sm — cos — n n

Qn

nr² tg

2 R

n

sm — cos -n n

~~2R tg — n

Ak dosadime

. 2R

2R _ ^Sm n

^tg n ~ 2R’

cos-

n

dostaneme

. 2 R    2 R

sm — cos — n n

Qn

sm ■

2 R

cos-

2R

n

(5iże (po krateni)

2R

Pn

Qn    ⁿ

Pretoże podia poznamky na zaćiatku dókazu

cos*

(1)

2R

0 < cos — < 1, n

aj

,2R

0 < cos² — < 1, n

teda

Qn

Po yynasobeni kładnym cislom Q_n dostaneme

Pn Qn’

t. j. vzf ah, który sme mali dokazaf.

Aby sme postupnosf obsahov ypisanych mnohouholnikoy zhorą obmedzili peynym cislom, dosadime za obsah Q_n najvaćśi z obsahov Q_n. Q_2n, Q_in. t. j. obsah Q_s roynostranneho trojuholnika opisane-ho krużnici. Potom plati tym skór nerovnosf:

Pn< Q₃.

4.    Postupnosf obsahoy prayidelnych mnohouholnikov opisanych krużnici je zdoła ohranićena, t. j. existuje cislo mensie neż vsetky ćleny postupnosti. Toto tvrdenie je samozrejme, pretoże ćleny uvedenej postupnosti su kladne ćisla (podia podmienky [1]). Każda postupnosf kladnych ćisel je zdoła ohranićena, napr. nulou.

5.    Postupnosf obsahov prayidelnych mnohouholnikov ypisanych krużnici ma limit, pretoże je rastuca a zhora ohranićena. Oznaćme tento limit

lim P„ == p. n->o0

Pretoże dana postupnosf je rastuca, pre yśetky prirodzene n ^2 3 plati nerovnosf

Pn < ¥■

Postupnosf obsahoy prayidelnych mnohouholnikoy opisanych krużnici k ma prave tak isto limit, pretoże je kiesajuca a zdoła ohranićena. Oznaćme tento limit

lim Q_n=q.

n-> co

Pretoże tato postupnosf je klesajiica, pre yśetky prirodzene n 22 3 plati neroynosf

9< Qn-

Dokażeme, że obidva limity sa sebe rovnaju, t. j. że p = q. Skutoćne

lim Q_n 9 W->00

p    lim P_n ’

n->oo

275