0165

167

8 2. Pole i objętość

a więc szukane pole jest także równe tej całce

b    b

(7)    |P| = fydx=ff(x)dx.

•    a

Jeśli trapez krzywoliniowy CDEF jest ograniczony i z góry i z dołu (rys. 19) krzywymi o równaniach

Pi = fi(x) i y₂ = f₂(x) (a < x < b),

to rozpatrując go jako różnicę dwóch figur ABFE i ABCD, otrzymamy pole tego trapezu w postaci

b    b

(8)    |P| = f (y₂-yi) dx = / [/₂(x)-/i(x)]dx.

a    a

Niech będzie teraz dany wycinek AOB (rys. 20), ograniczony krzywą AB i dwoma promieniami O A i OB ( z których każdy może być punktem). Krzywa AB niech ma równa

nie biegunowe r = g (6), gdzie g (0) jest funkcją dodatnią w przedziale <a, /?>. I tu chodzi nam tylko o obliczenie pola |P| tego wycinka, ponieważ istnienie tego pola jest już zagwarantowane własnościami konturu figury.

Między a i fi wstawiamy liczby (patrz rysunek 20)

a - 0_O < 0x < 0₂ < ... <0i < 0j+i < ... < 0_n = p,

i prowadzimy promienie odpowiadające tym kątom. Jeśli oznaczymy tu przez i M, odpowiednio najmniejszą i największą wartość funkcji g(0) w przedziale <0, , 0₍+_t>, to wycinki kołowe zakreślone tymi promieniami będą odpowiednio leżały wewnątrz figury AOB lub wystawały poza nią. Tworzymy z wewnętrznych wycinków i z wystających wycinków dwie figury, których pola są równe odpowiednio

I    i

i oczywiście jest a < \P\ < Z.