0527

528

Uzupełnienie

Funkcja ę¹ jest więc szukanym przedłużeniem funkcji ę na 3P¹.

Lemat II. Niech funkcja f{x,y) będzie klasy ⁽8" w pewnym ograniczonym i otwartym obszarze i¹) Jt. Jeżeli dla każdego punktu należącego do brzegu ź£ tego obszaru można znaleźć otoczenie, na które funkcja f daje się przedłużyć z zachowaniem klasy, to możliwe jest takie przedłużenie funkcji f na całą płaszczyznę 8.

Dla dowolnego punktu M obszaru domkniętego J(=J( + Ź£ istnieje zatem albo otoczenie, w którym funkcja /klasy <€" jest określona, albo otoczenie, na które funkcja / daje się przedłużyć z zachowaniem klasy (²). Jako takie otoczenie można wziąć np. otwarte koło o"=Jf(M, 3r) o środku M i promieniu 3r. Domknięty obszar Jt można oczywiście pokryć nie tylko rodziną E" kół a", ale też rodziną Z kół o = Jf{M, r) o trzykrotnie mniejszych promieniach. _

Ponieważ obszar Jt jest ograniczony, gdyż ograniczony jest obszar Jt, więc możemy tu zastosować lemat Borela [175],

Obszar J( można zatem pokryć skończonym układem

Można na przykład określić najpierw metodami z ustępu 257 funkcję h{t) klasy na całej osi — oo<r<+oo tak, aby

/i (r) = 0 dla f^l i h(0=l dla 2.

Następnie zaś przyjąć

Za pomocą funkcji h_t tworzymy funkcje

tf, =7/(111) = 1-ń,,

H_i = H_i(M) = h_t h₂...h_i-_i(l—h_i)    (1 <i^m).

Funkcje te są także klasy w 8. Oczywiście jest

(7)

Hj = 0 w <7_; (dla wszystkich j > i)

1

Nie zakładamy, że obszar ten jest spójny i na razie nie mówimy nic o kształcie jego brzegu. (²) W zależności od tego, czy punkt M należy do obszaru otwartego Jt, czy do jego brzegu J.