0169

171

§ 2. Pole i objętość

7) Niech wreszcie elipsa będzie dana za pomocą równania ogólnego ax²+2bxy+cy²+2dx+2ey+f = 0 ;

należy znów znaleźć jej pole |P|.

Zadanie to można sprowadzić do poprzedniego.

Jeśli początek układu współrzędnych przeniesiemy do środka elipsy o współrzędnych (£, rj), które jak wiadomo—można wyznaczyć z równań

(11)    aS+br)+d= 0,

b£+ct)+e = 0,

to równanie tej elipsy przyjmie postać

ax² + 2bxy+cy² +/' = 0,

gdzie

(12)    /' = di+erj+f.

Rugując i) z równości (11) i (12), znajdujemy

b d

= 0,

c e

e f-r

a stąd

/' =

A

ac—b² ’

gdzie

A =

a b d b c e (’). d e f

Otrzymane równanie łatwo jest sprowadzić do postaci podanej w 6), podstawiając

a

r'

B = -

r

c= - 4-

Znaczy to, że pole elipsy jest równe

\p\ „ -■■■? 1/'! _ yac— b²

itA

(ac—b²)³¹²

8) Można używać wzoru (7) również w tym przypadku, kiedy krzywa ograniczająca trapez krzywoliniowy dana jest za pomocą równań parametrycznych lub też równań postaci (6). Dokonując bowiem w całce (7) zamiany zmiennych, otrzymujemy (przy założeniu, że x = a dla / = t₀ i x = b dla / = T):

(13)

1^1= / yx'dt = f y> (t) <p'(t) dt.

Obliczmy na przykład pole elipsy przy założeniu, że jest ona dana równaniami parametrycznymi

x — a cos t, y — b sin t

i pamiętając, że x wzrasta od —a do a, kiedy t zmienia się od 7c do 0. Otrzymujemy wtedy

O    Jt

|P| == 2 J ó sin t (—a sin /) dt = 2ab J sin*r dt = n ab.

n    o

Obliczyliśmy tu pole górnej połówki elipsy i podwoiliśmy je.

(‘) Oczywiście liczby/' i A są ujemne (w przeciwnym razie równanie nie przedstawiałoby krzywej rzeczywistej).