0012

14

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Całkowanie ułamka o skomplikowanym mianowniku można sobie ułatwić przez rozkład tego ułamka na sumę ułamków o mianownikach prostszych. Na przykład

1

1

x²—a²    {x —a)(x+a)

dlatego jest [por. przykład 7(a)]

(ni    f—

J x^t—a²    2a |y x-a J Jt+aj    2a

Dla ułamków postaci ogólniejszej

= _!_/_!___!_V

2a \x—a x+a /

x—a

x+a

+ C.

1 (jc+a)(*+A)

można podać na przykład taki sposób. Oczywiście (x+a)— (x+b) = a—A. Zachodzi więc tożsamość

1

__ 1    (*+a)-(*+A)    1 / 1___!_'

(jr+a)(jr+A) a—b (jf+a)(x+A)    a—b \jc+A    x+aj

Tak więc

04) f-

J i

dx

1

(x+a)(x+b) a—b W szczególności dx

•ln

x+b

x+a

+C.

15) (a) f - ~ ^dx-- f-—-= ln

J x²-5x+6 J (jr—2)(*—3)

dx

jr—3

x—2

+ C,

(b) f—-ŚŁ-f-—-— =—ln

J 4x²+4x 3    4 J    ⁸

2*-l

2*+3

+ C.

⁽¹⁶⁾/^4kyc <*»*-«:>«>■

Mianownik rozkłada się na czynniki rzeczywiste A(x—<x)(x—fl), gdzie ^ _ -B+V^rB²-AC p -B-l/B²-AC

Wówczas według przykładu 14) podstawiając w nim a -= — p, b — — <x otrzymujemy

/

_dx_

Ax²+2Bx4-C

1

2 YB²-AC

ln

Ax+B-^B²-AC | , _c AxĄ- B-\-]/B²—AC I

Niektóre wyrażenia trygonometryczne po dokonaniu pewnych przekształceń elementarnych dąją się całkować w bardzo prosty sposób.

Jak wiadomo

cos' mx ■

1 +cos 2mx

sin'/*!* =

1 —cos 2mx

skąd

17) (a) j cos²mx dx =

(b) J $\n²mxdx =■

■ —— jcH—— sin 2»jor+C 2    4m

— x--i— sin 2mx4-C

2    4 m

(«*0),

(m * 0).