48295 P1111254

14 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Całkowanie ułamka o skomplikowanym mianowniku można sobie ułatwić przez rozkład tego ułamka na sumę ułamków o mianownikach prostszych. Na przykład

1	^1 ~ ^1 (	1	1. \
x^2—a^2	(x—a)(x+a) 2a \	x—a	x+a/
dlatego jest [por. przykład 7(a)J
fni f . 1 F f ^dx	_ f *x 1 ■ 1 ,n	x—a	+c.
^<13> j S§S>. 2* U	J x+oJ 2a	x+a

Dla ułamków postaci ogólniejszej

1 (x+a)'(*+A)

_ 1    (x-ł-Q)-(x-ł-ó)

(x+o)(x+ó) a—b    (x+a)(x+ó)    a

HgfB___u.

—b \x+ó x+a/

można podać na przykład taki sposób. Oczywiście (x+o)—(x+b) = a—b. Zachodzi więc tożsamość 1

Tak więc (14) 1    *

1

(x+a)(x+b) a—b W szczególności

x+b

x+a

+C.

(x—2)(x—3)

\x—2

+C,

(b)

| dx    1 f dx    - ¹ Inl²*—¹1

J 4x²+4x—3 4J    8    |2x+3 |

il J-

dx

(przy B²—AC > 0).

Ax²+2Bx+C

Mianownik rozkłada się na czynniki rzeczywiste A(x—tx)(_x—p), gdzie

* _ -b+/b²-ac A

Wówczas według przykładu 14) podstawiąjąc w nim a — — (}, b — —a. otrzymujemy

_-B-l/B²-AC

A

i

dx

1

Ax²+2Bx4-C 2 YB²-AC

In

Ax+B-VB²-AC

Ax+B-\-]/b²-AC

+C'.

Niektóre wyrażenia trygonometryczne po dokonaniu pewnych przekształceń elementarnych dają się całkować w bardzo prosty sposób.

Jak wiadomo

cos* mx

1+cos 2mx

1 —cos 2mx

skąd

17) (a) / cos ²mx dx — -~-x+ -i- sin 2»ix+C {mi-- 0), a    Z 4/w

(b) / un²mx dx m i- x--L sin 2//«4-C Gn + 0).

*    ⁷    4/n

Ogólniej

sin mx cos nx — -j [sin (m+n) *4-sin (w—n) x], cos mx cos nx ~ [cos (m+n) x+cos (m—n) x), sin mx sin nx =* [cos (m—n) jc—cos (m+n) x].

Przyjmując, że m±n?^0, otrzymujemy następujące całki:

18) (a) f sin mxcos nxdx ■» ——-cos(m+n)x ————— cos(m—n)x+C

2 (m+n)    2 (m—n)

(b) J cos mx cos nx dx

1

■sin (m+n) x+

2 (m+n)

—-sin (m-n)x+C,

2 (m—n)

(c) f sin »« sin nx dx =—-i-sin (m—n) x----sin (m+n) x+C.

2 (m—n)    2 (m+n)

Rozpatrzymy na zakończenie nieco bardziej skomplikowany przykład.

19)    (a) f -*-ⁿ ^ dx (n - 1,2,3,...).

sin x

Ponieważ

sin 2nx = ^ [sin 2Arx— sin(2Jt— 2)x] = 2sin x^cos(2A:— l)x,

1-1    »-i.

więc wyrażenie podcałkowe sprowadza się do 2 T* cos(2Jfc—l)x i szukana całka równa się

*-1

2 V¹ s*ⁿ x +c Zj 2Jfc— 1

a-i

Analogicznie

<b) fl!SS!±U^*_,₊2y=i!l2*5._+c.

sin x    Z_j 2A:

••1

268. Całkowanie przez podstawienie. Wyłożymy tu jeden z najsilniejszych sposobów całkowania — metodę całkowania przez podstawienie, czyli zamianę zmiennej. U podstaw tej metody leży następujący prosty fakt.

Jeśli wiadomo, że

fg(t)dt = G(t)+C, to

J 0 (co (*)) a>'(x) dx =■ G (a) (x))+ C.

(O wszystkich występujących tu funkcjach g (/), co (x), co'(x) zakładamy, że są ciągłe). Wynika to bezpośrednio z reguł różniczkowania funkcji złożonej [98]:

-^-G(ft) (x)) « G'(a> (x» co'(x) - 0 (a) (x>) a>'(x),

jeśli wziąć pod uwagę, że G'(t) => g (t). To samo można wyrazić inaczej mówiąc, że równość

dG (I) - g (0 dt

pozostaje w mocy także przy zamianie zmiennej niezależnej t na funkcję o>(x) [106].