0301

303

§ 6. Iloczyny nieskończone

Wystarczy, by jeden z czynników iloczynu byl zerem, aby wartość całego iloczynu była też równa zeru. W dalszych rozważaniach będziemy ten wypadek wyłączali, zakładamy więc raz na zawsze, że />*# 0.

Czytelnik łatwo znajdzie analogię z szeregami nieskończonymi [362] i zda sobie sprawę z tego, że podobnie jak szeregi nieskończone, iloczyny nieskończone są także tylko swoistą formą badania ciągów i ich granic. Z tą formą warto się zaznajomić, gdyż w wielu przypadkach jest ona wygodniejsza od innych.

400. Przykłady

Iloczyn częściowy

JL . w+1 , 1

2 n 2 '

(‘-i)

iloczyn nieskończony jest więc zbieżny i ma wartość y.

2) Wzór Wallisa [317]

JL — jjm 2-2-4-4- ... •2n-2n 2    1-3-3-5- ... (2n-l).(2if+l)

jest oczywiście równoważny z rozwinięciem liczby n/2 na iloczyn nieskończony

I.i.I.i.i.    2n . 2n .

2 * 1 ‘ 3    3 ’ 5 ’ " 2n—l ’ 2n+l ‘ “

Ten sam wzór Wallisa prowadzi też do wzorów

m!—i—1 = jl i

(2#n+l)² J 4    J i \    4»n²/    7r

iłi«*I    m-1

3) Udowodnimy, że dla |*| < 1 jest

(1 +*) (1 +x²) (1+x*) ... (1 +*²-¹) ... = -i—.

1—*

Rzeczywiście, jak łatwo się przekonać, wykonując kolejne mnożenia, jest

(!-*)•/>, = (1—jc) (1+jc) (1+jc²)- ... •(l+*²-«) = l-*²*,

/•„ =

l-x²-

i-x

Stąd otrzymujemy w granicy żądaną równość.

4) Znaleźliśmy już w ustępie 34, 7a) granicę

(<P # 0).

lim cos -2- cos -3L-... cos -SL. = ^s‘ⁿ V

2    2²    2*    <f>

Teraz możemy napisać to tak:

oo