0303

305

§ 6. Iloczyny nieskończone

1° Jeżeli jest zbieżny iloczyn nieskończony (2), to jest także zbieżny dla każdego k iloczyn (4). Na odwrót, ze zbieżności iloczynu (4) wynika zbieżność wyjściowego iloczynu (2) (^ł). Przeprowadzenie dowodu pozostawiamy czytelnikowi.

Tak więc w przypadku iloczynu nieskończonego odrzucenie skończonej liczby czynników początkowych lub dołączenie na początku kilku nowych czynników nie wpływa na zbieżność iloczynu.

2° Jeżeli iloczyn nieskończony (2) jest zbieżny, to

lim n_m = 1

«-¹oo

[patrz (4)].

Wynika to 2 równości n_m = PjP_m i z tego, że P_m dąży do P # 0.

3° Jeżeli iloczyn nieskończony (2) jest zbieżny, to

lim p„ = 1.

n-oo

Rzeczywiście, wraz z P¹ dąży do P także P_K__t, a więc

lim p_n

lim Pn lim P_nl

P_

P

1.

[porównaj 564,5°].

Nie wymieniając innych własności iloczynów nieskończonych analogicznych do odpowiednich własności szeregów nieskończonych, przejdziemy do ustalenia związku między zbieżnością iloczynów nieskończonych i szeregów, co pozwoli nam zastosować bezpośrednio do iloczynów teorię rozwiniętą szczegółowo dla szeregów.

W przypadku iloczynu zbieżnego wszystkie czynniki p_n, poczynając od pewnego miejsca, są dodatnie (3°). Zresztą — wobec 1° — nie zmniejszymy ogólności, jeżeli założymy odtąd, że wszystkie p_n> 0.

4° Na to, by iloczyn nieskończony (2) był zbieżny, potrzeba i wystarcza, żeby był zbieżny szereg

CO

(5)    Yj^lnp1'

n—1

Jeżeli ten warunek jest spełniony i L jest sumą szeregu, to P = e^L.

Oznaczmy przez L_n sumę częściową szeregu (5). Będziemy mieli

L_n = ln P_n, P_n = e^Ł-.

Z ciągłości funkcji logarytmicznej i funkcji wykładniczej wynika teraz, że jeśli P„ dąży do skończonej granicy dodatniej P, to L_n dąży do ln P i na odwrót — jeżeli L_n dąży do skończonej granicy L, to P_n ma granicę e^L.

Przy badaniu zbieżności iloczynu nieskończonego (2) bywa często wygodnie zapisywać czynniki w postaci

p_n = l+a„,

1

Przypominamy, że założyliśmy raz na zawsze, iż 0.

20 Rachunek różniczkowy