0303

0303



305


§ 6. Iloczyny nieskończone

Jeżeli jest zbieżny iloczyn nieskończony (2), to jest także zbieżny dla każdego k iloczyn (4). Na odwrót, ze zbieżności iloczynu (4) wynika zbieżność wyjściowego iloczynu (2) (ł). Przeprowadzenie dowodu pozostawiamy czytelnikowi.

Tak więc w przypadku iloczynu nieskończonego odrzucenie skończonej liczby czynników początkowych lub dołączenie na początku kilku nowych czynników nie wpływa na zbieżność iloczynu.

Jeżeli iloczyn nieskończony (2) jest zbieżny, to

lim nm = 1

«-1oo

[patrz (4)].

Wynika to 2 równości nm = PjPm i z tego, że Pm dąży do P # 0.

Jeżeli iloczyn nieskończony (2) jest zbieżny, to

lim p„ = 1.

n-oo

Rzeczywiście, wraz z P1 dąży do P także PK_t, a więc

lim pn


lim Pn lim Pnl


P_

P


1.


[porównaj 564,5°].

Nie wymieniając innych własności iloczynów nieskończonych analogicznych do odpowiednich własności szeregów nieskończonych, przejdziemy do ustalenia związku między zbieżnością iloczynów nieskończonych i szeregów, co pozwoli nam zastosować bezpośrednio do iloczynów teorię rozwiniętą szczegółowo dla szeregów.

W przypadku iloczynu zbieżnego wszystkie czynniki pn, poczynając od pewnego miejsca, są dodatnie (3°). Zresztą — wobec 1° — nie zmniejszymy ogólności, jeżeli założymy odtąd, że wszystkie pn> 0.

Na to, by iloczyn nieskończony (2) był zbieżny, potrzeba i wystarcza, żeby był zbieżny szereg

CO

(5)    Yjlnp1'

n—1

Jeżeli ten warunek jest spełniony i L jest sumą szeregu, to P = eL.

Oznaczmy przez Ln sumę częściową szeregu (5). Będziemy mieli

Ln = ln Pn, Pn = eŁ-.

Z ciągłości funkcji logarytmicznej i funkcji wykładniczej wynika teraz, że jeśli P„ dąży do skończonej granicy dodatniej P, to Ln dąży do ln P i na odwrót — jeżeli Ln dąży do skończonej granicy L, to Pn ma granicę eL.

Przy badaniu zbieżności iloczynu nieskończonego (2) bywa często wygodnie zapisywać czynniki w postaci

pn = l+a„,

1

Przypominamy, że założyliśmy raz na zawsze, iż 0.

20 Rachunek różniczkowy


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
skan1 nych jest także rezultatem zniszczenia środowiska materialnego. Ulice, budynki, parki i inne
484 XIII. Całki niewłaściwe 1° Jeżeli całka ff(x) dx jest zbieżna, to zbieżna jest także całka f f{x
Własność 2.: Jeżeli
Art. 7. 1X01 §1. Jeżeli małżeństwo jest zawierane przed kierownikiem urzędu stanu cywilnego, oświadc
269 § 3. Zbieżność szeregów dowolnych Jeżeli zbieżny jest szereg (15), to jest także zbieżny szereg
270 XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych jak wspomnieliśmy jest zbieżny, a zatem jest także
332 XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych jeżeli
Zbadaj zbieżność podanej całki niewłaściwej. Jeżeli jest zbieżna, oblicz jej wartość. rOC i
Zbadaj zbieżność podanej całki niewłaściwej. Jeżeli jest zbieżna, oblicz jej wartość. i: xdx x2 +
skanuj0009 (325) —    siła bodźca obojętnego, który staje się warunkowym. Jeżeli jest
slajd08 (5) PŁASZCZYZNY PROSTOPADŁE Płaszczyzna P jest prostopadła do płaszczyzny a, jeżeli jest
img26901 djvu 272 Tę rozmówkę można przeprowadzić podczas wycieczki do ogrodp szkolnego, jeżeli jes

więcej podobnych podstron