305
§ 6. Iloczyny nieskończone
1° Jeżeli jest zbieżny iloczyn nieskończony (2), to jest także zbieżny dla każdego k iloczyn (4). Na odwrót, ze zbieżności iloczynu (4) wynika zbieżność wyjściowego iloczynu (2) (ł). Przeprowadzenie dowodu pozostawiamy czytelnikowi.
Tak więc w przypadku iloczynu nieskończonego odrzucenie skończonej liczby czynników początkowych lub dołączenie na początku kilku nowych czynników nie wpływa na zbieżność iloczynu.
2° Jeżeli iloczyn nieskończony (2) jest zbieżny, to
lim nm = 1
«-1oo
[patrz (4)].
Wynika to 2 równości nm = PjPm i z tego, że Pm dąży do P # 0.
3° Jeżeli iloczyn nieskończony (2) jest zbieżny, to
lim p„ = 1.
n-oo
Rzeczywiście, wraz z P1 dąży do P także PK_t, a więc
lim pn
lim Pn lim Pnl
P_
P
[porównaj 564,5°].
Nie wymieniając innych własności iloczynów nieskończonych analogicznych do odpowiednich własności szeregów nieskończonych, przejdziemy do ustalenia związku między zbieżnością iloczynów nieskończonych i szeregów, co pozwoli nam zastosować bezpośrednio do iloczynów teorię rozwiniętą szczegółowo dla szeregów.
W przypadku iloczynu zbieżnego wszystkie czynniki pn, poczynając od pewnego miejsca, są dodatnie (3°). Zresztą — wobec 1° — nie zmniejszymy ogólności, jeżeli założymy odtąd, że wszystkie pn> 0.
4° Na to, by iloczyn nieskończony (2) był zbieżny, potrzeba i wystarcza, żeby był zbieżny szereg
CO
(5) Yjlnp1'
n—1
Jeżeli ten warunek jest spełniony i L jest sumą szeregu, to P = eL.
Oznaczmy przez Ln sumę częściową szeregu (5). Będziemy mieli
Ln = ln Pn, Pn = eŁ-.
Z ciągłości funkcji logarytmicznej i funkcji wykładniczej wynika teraz, że jeśli P„ dąży do skończonej granicy dodatniej P, to Ln dąży do ln P i na odwrót — jeżeli Ln dąży do skończonej granicy L, to Pn ma granicę eL.
Przy badaniu zbieżności iloczynu nieskończonego (2) bywa często wygodnie zapisywać czynniki w postaci
pn = l+a„,
Przypominamy, że założyliśmy raz na zawsze, iż 0.
20 Rachunek różniczkowy