0391

393

§ 3. Zastosowania

Musimy teraz tylko uzasadnić możliwość przejścia do granicy wyraz za wyrazem wewnątrz nawiasu, gdzie liczba wyrazów jest skończona dla każdego m, lecz wzrasta nieograniczenie wraz z m [porównaj 6)].

Niech x będzie zawarte między — |ąx a + tn_a-K. Przyjmijmy m>m₀. Łatwo wykażemy, że bez-x

względna wartość wyrażenia m tg — maleje ze wzrostem m, a więc jest ograniczona.

< L = wo tg

m₀

(m > /M₀) .

W takim razie rozwinięcie w nawiasie jest zmajoryzowane przez szereg zbieżny

+ ...

Kończymy rozumowanie tak samo, jak w poprzednim przykładzie.

Analogicznie możemy otrzymać rozwinięcie cos x w szereg potęgowy.

Uwaga. Przykłady 3), 6) i 7) odtwarzają w postaci ściślejszej sposób rozwinięcia funkcji elementarnych podany przez Eulera w jego „Wstępie do analizy nieskończenie małych” (1748).

8) Udowodnić, że

(a)

Km Yl=l£± ,-i-o Z_I n

! + *•

(b) Urn (l-jr>y (-1)-¹    In 2.

,-.10    4—>    1—**■    2

(a)    Niech będzie 0<jc< 1. Ponieważ szereg £ (— 1)’^_,/« jest zbieżny, a czynniki **/( 1 + x") są ogra-

i

niczone od góry jedynką i maleją monotonicznie ze wzrostem n, więc możemy tu stosować kryterium Abela, a więc szereg jest zbieżny dla wszystkich x w (0,1). Przechodząc w nim wyraz za wyrazem do granicy, gdy x -*■ 1 —O (twierdzenie 4), otrzymamy szukany wynik.

(b)    Przyjmijmy tu też, że 0<at<1. Mamy

y(-!>■-» o-*)** _ y(_,).-._-.

/—i    l—X^2m Zj    1+ x+x*+ ... ■+ x^lm~^l

•“1    8-t

Teraz jednak szereg £ (—l)""¹ nie jest zbieżny, lecz jego sumy częściowe są ograniczone. Za to czynniki

i

_t a «— i nie tylko maleją monotonicznie wraz ze wzrostem #t, lecz nawet dążą jednostajnie do O w (0,1), gdyż

l+x+...+x*"-^{1 K} 1+*+ ... -t-**-¹ < nxT n"

W tym przypadku można stosować kryterium Dirichleta, szereg jest zbieżny jednostajnie, możemy przechodzić do granicy wyraz za wyrazem dla x 1 —O itd.

9) Mówiąc o szeregu potęgowym przyjmowaliśmy zawsze, że jego wyrazy są uporządkowane według wzrostu wykładników. Podczas gdy wewnątrz przedziału zbieżności nie ma to żadnego znaczenia, z uwagi na bezwzględną zbieżność szeregu, to już na przykład twierdzenie Abela stąje się fałszywe przy innym uporządkowaniu.