0339

341

§ 8. Rachunki przybliżone — Przekształcanie szeregów

Nie zawsze jednak takie przejście do granicy prowadzi do pożytecznego wyniku. Jeśli dokonamy go na przykład w równości (lOa), to otrzymamy po prostu tożsamość

Tak więc metoda zaproponowana przez Markowa daje ogólny schemat postępowania, pozostawia* jący rachmistrzowi szerokie możliwości, ale też wymagający od niego dużych umiejętności.

§ 9. Sumowanie szeregów rozbieżnych

417. Wstęp. Dotychczas w całym tym rozdziale przypisywaliśmy danemu szeregowi liczbowemu

00

(A)    = a₀+ai+«2+ — +a,+ ...

11=0

jako sumę granicę jego sum częściowych

A = lim A_n ,

zakładając, że granica ta istnieje i jest skończona (albo jest nieskończonością określonego znaku). Oscylujący szereg rozbieżny był dla nas zawsze pozbawiony sumy i takie szeregi wyłączaliśmy systematycznie z rozważań.

Różne fakty z zakresu analizy matematycznej, jak na przykład rozbieżność iloczynu dwóch szeregów zbieżnych [392], wysunęły w drugiej połowie ubiegłego stulecia naturalne zagadnienie, czy nie można szeregów rozbieżnych sumować, oczywiście w sensie różnym od zwykłego. Pewne metody takiego sumowania okazały się szczególnie płodne; zajmiemy się nimi szczegółowo.

Należy powiedzieć, że przed stworzeniem przez Cauchy’ego ścisłej teorii granic i związanej z nią teorii szeregów nierzadko występowały szeregi rozbieżne w praktyce matematycznej. Użycie ich w dowodach budziło wprawdzie wątpliwości, niemniej jednak niekiedy próbowano nadawać im nawet sens liczbowy. Na przykład oscylującemu szeregowi

1-1 + 1-1 + 1-1+...

przypisywano już od czasów Leibniza sumę 1/2. Euler na przykład motywował to tym, że z rozwinięcia

-r-— = 1—x+x*—x³+x⁴—x⁵+ ... l+x

(które jest słuszne tylko dla |x| < 1) otrzymuje się po podstawieniu x = 1 właśnie równość

1 = 1-1 + 1 —1 + 1— ...

Tkwiło już w tym ziarnko prawdy, ale postawienie zagadnienia było nie dość ścisłe: