327
§ 8. Rachunki przybliżone — Przekształcanie szeregów
409. Uwagi ogólne. Na przykładzie otrzymanych przez nas konkretnych rozwinięć wyjaśnimy, jak można wykorzystać szeregi nieskończone do rachunków przybliżonych. Poprzedzimy to kilkoma uwagami ogólnymi.
Jeżeli nie znana nam liczba A jest rozwinięta w szereg
A — 01+02 + 03+ ••• +0»+
gdzie oi, 02, 03, ... są łatwymi do obliczania (zazwyczaj wymiernymi) liczbami, i przyjmiemy w przybliżeniu
A 01+02+ ••• +0« = An ,
to błąd popełniony przez odrzucenie pozostałych wyrazów jest równy reszcie
*0 = 0» + l+0«+2+ •••
Dla dostatecznie dużego n błąd ten będzie dowolnie mały, tak że An odtwarza wartość A z dowolną z góry daną dokładnością.
W naszym interesie leży możliwość oszacowania w prosty sposób reszty oc„. Pozwoliłoby nam to w porę zatrzymać się w obliczaniu sum częściowych, kiedy została już osiągnięta wymagana dokładność przybliżenia.
Jeżeli rozpatrywany szereg jest naprzemienny, to jak widzieliśmy [381, uwaga], reszta ma taki sam znak, jak jej pierwszy wyraz i nie przekracza tego wyrazu co do wartości bezwzględnej. Jeżeli chodzi o prostotę oszacowania, to nie można sobie życzyć nic lepszego.
Trochę trudniej jest w przypadku szeregu o wyrazach nieujemnych. Wówczas staramy się zazwyczaj znaleźć łatwy do zsumowania szereg, którego (nieujemne) wyrazy byłyby większe od wyrazów badanej reszty, i szacujemy sumę tego szeregu.
oo
Na przykład dla szeregu £ 1/m2 można otrzymać oszacowanie
CO 00
- p--_L).JL
_j \m— 1 m/ n
m(»i—1) 4—i
n+1 m«n+l
[oszacowanie to pokrywa się z oszacowaniem z góry, otrzymanym w ustępie 373, (11) za pomocą całko-
00
wania], a dla szeregu 1 + £ 1 //«! — oszacowanie
1
1 V
1
»« = « + !
(« + !)• ...-m n! 4—> (n+1)"
( z tego oszacowania korzystaliśmy już faktycznie przy obliczeniach liczby e w ustępie 37).
Zazwyczaj szukamy dziesiętnego przybliżenia liczby A, podczas gdy wyrazy szeregu mogą nie być wyrażone jako ułamki dziesiętne. Przy zamianie ich na ułamek dziesiętny zaokrąglamy je, co stanowi źródło nowych błędów, które także musimy uwzględnić.
Zauważmy wreszcie, że nie każdy szereg, którego sumą jest szukana liczba A, nadaje się praktycznie do obliczenia tej liczby, nawet jeżeli wyrazy szeregu mają prostą postać, a reszta łatwo się szacuje. Chodzi tu o szybkość zbieżności, tzn. o szybkość przybliżania się sum częściowych do A.
Weźmy na przykład szeregi [patrz 404 (16) i 405 (18)]