0335

337

§ 8. Rachunki przybliżone — Przekształcanie szeregów

obliczenie sumy wyjściowego szeregu sprowadza się więc do obliczenia sumy szeregu przekształconego, którego wyrazy na pewno dążą do zera szybciej.

00    co

Chcąc na przykład obliczyć sumę szeregu £ l/k² przypomnijmy sobie szereg \jk(k+l) o su-

Jk—1    1-1

mie równej 1 [25,9)] i zauważmy, że przy k -^{1 2}■ oo jest

J___1

k² ~ A: (Jfc+1) ‘

Ponieważ

J___1    1

k² ~ ²(²+1)    ²²(²+l)

więc jest

1 +

s

k-1

1

*²(²+l)

i szereg przekształcony okazuje się wygodniejszy do obliczeń.

Podane postępowanie można powtórzyć i biorąc nową wielkość nieskończenie małą ajj? równoważną z tak, aby szereg

... +«?»+ ...

był zbieżny do skończonej, łatwej do obliczenia sumy A₂, można zadanie sprowadzić wzorem

£    = a₂+a₂+ J

i-i    i-i

do obliczenia sumy ostatniego szeregu, którego wyrazy dążą do zera szybciej niż

Powtarzając ten proces p razy otrzymujemy wzór

(10)    %Af²>~A_l+At+ ... +4,+ fX‘\

k-ł    k-1

gdzie

^ =    («•= i,2,...,p)

k-l

są to znane sumy wydzielanych kolejno szeregów: zadanie obliczenia sumy sprowadzi się zatem do obli-00

czenia sumy szeregu £ «,^>.

k-l

00

W przytoczonym wyżej przykładzie obliczenia sumy szeregu l/k² można pójść dalej:

k-l

1

A²(²+l)

OD

-s-

1

*(²+l)(²+2)

■ +2!

CO

■S-

i_

*²(A+l)(A+2)

wobec czego

i-i

^,+i-^+2,S

22 Rachunek różniczkowy

1

1_

2

²(Jfc+l)(²+2) '